【Bzoj2242】计算器

2242: [SDOI2011]计算器

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Description

你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：
1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值；
2、给定y,z,p，计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数；
3、给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。
Input

输入包含多组数据。
第一行包含两个正整数T,K分别表示数据组数和询问类型（对于一个测试点内的所有数据，询问类型相同）。
以下行每行包含三个正整数y,z,p，描述一个询问。
Output

对于每个询问，输出一行答案。对于询问类型2和3，如果不存在满足条件的，则输出“Orz, I cannot find x!”，注意逗号与“I”之间有一个空格。
Sample Input

【样例输入1】
3 1
2 1 3
2 2 3
2 3 3
【样例输入2】
3 2
2 1 3
2 2 3
2 3 3
【数据规模和约定】
对于100%的数据，1<=y,z,p<=10^9，p为质数，1<=T<=10。
Sample Output

【样例输出1】
2
1
2
【样例输出2】
2
1
0

数学の特定のテ-マは本当に恐ろしいquq…
这个题的话能算是一个综合题吧，三个操作对应着不同的算法。
对于第一个操作，比较简单，快速幂。
对于第二个操作，可以选择用扩展欧几里得解这个同余方程。但是我们注意到p为质数，可以使用费马小定理求解。首先考虑有没有解，如果y%p==0而z%p!=0的话，很显然Orz（这时无论x等于多少左边余数都为0）。之后我们用费马小定理求解，∵xy≡z(modp)，∴x≡z∗inv(y)(modp)。而又因为p是质数且y，所以y，p肯定互质，此时由费马小定理得：inv(y) = yp−2。之后再以p为步长将x调整至最小非负整数。
而对于第三个操作，我就不讲了因为我也不会 我们可以用BSGS/离散对数算法（我会告诉你我一个也不会？）。稍微介绍一下BSGS算法的思路。
网上的许多题解中，是将x拆分为i∗m+j，之后求逆元然后hash出解。像这样：

（摘自hzwer）

但是这道题可以使用另一种方法稍作简化，可以省去求逆元的步骤（你tm不会玩逆元就直说！！！）。
我们可以设x=im−j，注意这个美妙的减号，移项之后就没有逆元了，这样原式就变为yi∗m−j=z(modp)，
再变为yj×z=ym∗i (modp)。
这时候我们就可以按照上文中的思路，枚举j：0 to m，把左边式子模p的值存入map中，之后再枚举i：1 to m，如果发现一个ym∗i模p的值在map中有对应解，则ans = (i*m)-ma[tmp]（tmp是左边式子已经有的值），然后对ans进行调整即可。
那么肯定有人会有疑问为何只计算到m=p√就可以确定答案呢？
x=i∗m−j 也就是x的最大值不会超过p,那超过p的怎么办 ？
有一个公式 akmodp=ak(modp) 这个公式的推导需要用到费马小定理
k mod p可以看做 k-mp ,原式可化成 ak(ap)m=ak(modp)
根据费马小定理 ap−1=1 (mod p) 其中p为质数 ，a,p 互质，可得ak1m=ak(modp)
即 akmodp=ak(modp) 得证。

唔…这个奇妙的方法我是真的没懂，有没有神犇愿意给我讲一讲quq…

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <map>#include <cmath>using namespace std;typedef long long LL;LL x,y,p,m,z;int T,flag;map <LL,LL> ma;LL power(LL b,LL p,LL k){    LL ans = 1;    while(p){        if(p & 1) ans = (ans*b)%k;        b = (b*b)%k;        p >>= 1;    }    return ans;}void Bsgs(LL y,LL z,LL p){    int flag = 0;    if(y == 0 && z == 0) {puts("1");return;}     if(y == 0 && z != 0) {puts("Orz, I cannot find x!");return;}    ma.clear();    LL tmp = 0,m=sqrt(p);    for(LL i=0;i<=m;i++){        if(i == 0) {tmp = z%p;ma[tmp]=i;continue;}        tmp = (tmp*y)%p;        ma[tmp] = i;    }    LL t = power(y,m,p);    tmp = 1;    for(LL i=1;i*i<=p;i++){        tmp = (tmp*t)%p;        if(ma[tmp]){             LL ans = (i*m)-ma[tmp];             printf("%lld\n",(ans%p+p)%p);             flag = 1;             break;        }    }    if(!flag)        puts("Orz, I cannot find x!");}int main(){    scanf("%d%d",&T,&flag);    while( T-- ){        scanf("%lld%lld%lld",&y,&z,&p);        y %= p;        if(flag == 1) printf("%lld\n",power(y,z,p));        if(flag == 2){            z %= p;            if(y==0 && z!=0) puts("Orz, I cannot find x!");            else printf("%lld\n",((z%p)*power(y,p-2,p))%p);        }        if(flag == 3) Bsgs(y,z,p);    }    return 0;}