hdu2065（指数型母函数+枚举找规律）

"红色病毒"问题

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 6608    Accepted Submission(s): 2758

Problem Description

医学界发现的新病毒因其蔓延速度和Internet上传播的"红色病毒"不相上下,被称为"红色病毒",经研究发现,该病毒及其变种的DNA的一条单链中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成对出现的。
现在有一长度为N的字符串,满足一下条件:
(1) 字符串仅由A,B,C,D四个字母组成;
(2) A出现偶数次(也可以不出现);
(3) C出现偶数次(也可以不出现);
计算满足条件的字符串个数.
当N=2时,所有满足条件的字符串有如下6个:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由于这个数据肯能非常庞大,你只要给出最后两位数字即可.

 

Input

每组输入的第一行是一个整数T,表示测试实例的个数,下面是T行数据,每行一个整数N(1<=N<2^64),当T=0时结束.

 

Output

对于每个测试实例,输出字符串个数的最后两位,每组输出后跟一个空行.

 

Sample Input

41420113142460

 

Sample Output

Case 1: 2Case 2: 72Case 3: 32Case 4: 0Case 1: 56Case 2: 72Case 3: 56

 

Author

Rabbit

转载请注明出处，谢谢 http://blog.csdn.net/ACM_cxlove?viewmode=contents           by---cxlove

题源：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2065

比赛的时候遇到这种题，只能怪自己高数学得不好，看着别人秒。。。。

由4种字母组成，A和C只能出现偶数次。

构造指数级生成函数：(1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……)^2*(1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!……)^2.

前面是B和D的情况，可以任意取，但是相同字母一样，所以要除去排列数。后者是A和C的情况，只能取偶数个情况。

根据泰勒展开，e^x在x0=0点的n阶泰勒多项式为 1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!……

而后者也可以进行调整，需要把奇数项去掉，则e^(-x)的展开式为1-x/1!+X^2/2!-X^3/3!……

所以后者可以化简为(e^x+e^(-x))/2。则原式为 (e^x)^2   *  ((e^x*e^(-x))/2)^2

整理得到e^4x+2*e^2x+1。

又由上面的泰勒展开 

e^4x = 1 + (4x)/1! + (4x)^2/2! + (4x)^3/3! + ... + (4x)^n/n!;

e^2x = 1 + (2x)/1! + (2x)^2/2! + (2x)^3/3! + ... + (2x)^n/n!;

对于系数为n的系数为(4^n+2*2^n)/4=4^(n-1)+2^（n-1）;

快速幂搞之。

超大的数，就想找规律了  参考了大神的题解  膜拜。。。其实我是枚举后把规律打成表对的。。。想到不易啊

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;  int k[100]={20,72,72,56,60,12,92,56,0,52,12,56,40,92,32,56,80,32,52,56};int main ()  {   long long n,m;    while(cin>>n,n){    int kcase=1;    for(int i=0;i<n;i++){    cin>>m;        if(m==1) {        printf("Case %d: ",kcase++);        cout<<2<<endl;}else if(m==2) {printf("Case %d: ",kcase++);cout<<6<<endl;}else{printf("Case %d: ",kcase++);cout<<k[(m-3)%20]<<endl;}}cout<<endl; }}