因子平方和

题目描述如下：
6 的因子有 1, 2, 3 和 6, 它们的平方和是 1 + 4 + 9 + 36 = 50. 如果 f(N) 代表正整数 N 所有因子的平方和, 那么 f(6) = 50.现在令 F 代表 f 的求和函数, 亦即
F(N) = f(1) + f(2) + .. + f(N), 显然 F 一开始的 6 个值是: 1, 6, 16, 37, 63 和 113.
那么对于任意给定的整数 N (1 <= N <= 10^8), 输出 F(N) 的值.

Version1

def F(n):    allsum=0    for x in range(1,n+1):        buf=[]        sum=0        for i in range(1,x+1):            if x%i==0:                buf.append(i)        for j in buf:            sum+=j*j        allsum+=sum    return allsumprint F(N)

初始版本，毫无疑问在N较大时候，超时了。

Version2

分析规律

N = 10def Lf(n):    L = []    for i in range(1,n+1):        if n % i ==0:            L.append(i)    return Lfor i in range(1,N+1):    print(Lf(i))

结果如下：

[1]
[1, 2]
[1, 3]
[1, 2, 4]
[1, 5]
[1, 2, 3, 6]
[1, 7]
[1, 2, 4, 8]
[1, 3, 9]
[1, 2, 5, 10]

统计F(N)每个数出现的次数N = 10L1 = list(range(1,N+1))L2 = [N/i for i in L1]print (L1)print (L2)

结果如下：

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[10, 5, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1]

发现有1有10个，2有5个，3有3个，4有2个，5有2 个。。。
即F(N)==1^2*(N//1)+2^2*(N//2)+…+N^2*(N//N)

def F(N):    result = 0;    for x in range( 1, N  + 1):            result += ((N/x) * (x**2))    return resultprint F(N)  

结果正确，但是依然会超时。

Version3

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]
[20, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

列了一下这个才注意到后半部分的个数全是1,所以可以前半部分和后半部分分开计算：
后半部分可以利用平方和公式进行计算。

def F(N):    result = 0;    for x in range( 1, N /2 + 1):            result += ((N/x) * (x**2))    result += (N*(N+1)*(2*N+1)-(N/2)*(N/2+1) * ((N/2)*2+1))/6    return resultprint F(N)