数论常见定理汇总

入门数论，做题时候好多定理老是忘，这里汇总下吧，不定期更新。

ps：来源有大牛一号

1、欧拉函数：求小于或等于n的数中与n互质的数的数目。记为φ(n)。

(1)、欧拉定理：若a与n互质，那么有a^φ(n) ≡ 1(mod n),经常用于求幂的模。

(2)、若p是一个质数,那么φ(p) = p-1，注意φ(1) = 1。

(3)、欧拉函数是积性函数：
若m与n互质，那么φ(nm) = φ(n) * φ(m)。
若n = p^k且p为质数，那么φ(n) = p^k - p^(k-1) = p^(k-1) * (p-1)。

(4)、当n为奇数时，有φ(2*n) = φ(n)。

(5)、基于素数筛的求欧拉函数的重要依据：
设a是n的质因数，若(n%a == 0 && (n/a)%a == 0) 则 φ(n) = φ(n/a)*a; 若(n%a == 0 && (n/a)%a != 0) 则φ(n) = φ(n/a)*(a-1)。

2、容斥原理：求小于n的数中有多少能被集合m中元素整除。