差分约束系统C++实现

差分约束：线性规划矩阵A的每一行包含一个1与一个-1，其他元素为0.因此，由Ax<=b给出的约束条件是m个差分约束集合，其中包含n个未知元。每个约束条件为不等式：

xj-xi<=bk

其中1<=i,j<=n,i<=k<=m

解决方法：把n个未知元看成n的有向图的顶点，xj-xi<=bk表示顶点j到顶点i长度为bk的有向线段。再添加一个v0顶点，与v0到其余顶点的有向线段，长度为0。（如下图）

可以证明 xi=β(v0,vi)(β(v0,vi)为顶点0到顶点i的最短路径长度）。所以就可以利用Bellman_Ford算求单源最短路径（不能用Dijkstra算法，因为有向线段长度可以为负）

// 差分约束系统.cpp : Defines the entry point for the console application.
//

#include "stdafx.h"
#include<iostream>
#define MAX 100
#define Infinity 65535
using namespace std;

//边的尾节点结构体
struct edgeNode
{
int no; //边尾端的序号
int weight; //边权值
struct edgeNode * next; //下一个
};

//节点结构体
struct vexNode
{
char info; //节点名称
struct edgeNode *link; //与之相连的端点
};

//存储节点信息
vexNode adjlist[MAX];
//前驱节点
int parent[MAX];
////源点到节点j最短路径的花费
int lowcost[MAX];
//差分矩阵
int a[MAX][MAX];
//约束集
int w[MAX];

//根据差分矩阵建立邻接表存储
//adjlist为节点集，parent[j]为从0节点到节点j的最短路径的前驱节点
//lowcost[j]为从0节点到节点j的最短路径的代价
//w为输入的差分约束
//m，n分别为差分矩阵的行数和列数
void createGraph(vexNode *adjlist,int *parent,int *lowcost,int *w,int m,int n)
{
int i,j;
//初始化，节点vi的名称为char(a+i)
for(i=0;i<=n;i++)
{
adjlist[i].info = (char)('a' + i);
adjlist[i].link = NULL;
lowcost[i] = Infinity;
parent[i] = i;
}
int col1,col2;
col1 = col2 = 0;
edgeNode *p1;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(a[i][j]==-1)
col1 = j;
else if(a[i][j]==1)
col2 = j;
}
p1 = (edgeNode*)malloc(sizeof(edgeNode));
p1->no = col2;
p1->weight = w[i];
p1->next = adjlist[col1].link;
adjlist[col1].link = p1;
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
p1 = (edgeNode*)malloc(sizeof(edgeNode));
p1->no = i;
p1->weight = 0;
p1->next = adjlist[0].link;
adjlist[0].link = p1;
}
lowcost[0] = 0;
}

//寻找v0到，每一个节点的最短路径
bool Bellman_Ford(vexNode *adjlist,int *lowcost,int *parent,const int n)
{
int i,j;
for(j=0;j<n;j++)
{
for(i=0;i<=n;i++)
{
edgeNode *p1 = adjlist[i].link;
while(p1 != NULL)
{
if(lowcost[i]+p1->weight <lowcost[p1->no])
{
lowcost[p1->no] = lowcost[i]+p1->weight;
parent[p1->no] = i;
}
p1 = p1->next;
}
}
}
//检查有无负回路
for(i=1;i<=n;i++)
{
edgeNode *p2 = adjlist[i].link;
while(p2 != NULL)
{
if(lowcost[p2->no]>lowcost[i]+p2->weight)
return false;
p2 = p2->next;
}
}
return true;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
int cases;
cout<<"请输入案例的个数：";
cin>>cases;
while(cases--)
{
int i,j;
int n,m;
cout<<"请输入差分矩阵的行数(m)与列数(n)：";
cin>>m>>n;
cout<<"请输入差分矩阵："<<endl;
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
cin>>a[i][j];
cout<<"请输入约束集："<<endl;
for(i=1;i<=m;i++)
cin>>w[i];
//创建邻接表
createGraph(adjlist,parent,lowcost,w,m,n);
//输出邻接表
/*
for(i=0;i<=n;i++)
{
edgeNode *p = adjlist[i].link;
cout<<i<<":";
while(p != NULL)
{
cout<<"("<<p->no<<","<<p->weight<<") ";
p = p->next;
}
cout<<endl;
}
*/
//调用Bellman-Ford算法
bool flag = Bellman_Ford(adjlist,lowcost,parent,n);
if(!flag)
cout<<"无解"<<endl;
else
{
//输出解集
cout<<"其中一个解集为（此解集加上一个任意的常数d也是其解集）："<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cout<<"x"<<i<<"="<<lowcost[i]<<endl;
}
}
system("pause");
return 0;
}

---------------------------------------------------程序测试---------------------------------------------------

请输入案例的个数：1
请输入差分矩阵的行数(m)与列数(n)：8 5
请输入差分矩阵：
1 -1 0 0 0
1 0 0 0 -1
0 1 0 0 -1
-1 0 1 0 0
-1 0 0 1 0
0 0 -1 1 0
0 0 -1 0 1
0 0 0 -1 1
请输入约束集：
0 -1 1 5 4 -1 -3 -3
其中一个解集为（此解集加上一个任意的常数d也是其解集）：
x1=-5
x2=-3
x3=0
x4=-1
x5=-4
请按任意键继续. . .