python 利用模拟退火算法求解TSP最短路径

在我的上一篇文章中，我详细介绍了如何利用爬山法求解最短路径的过程。因为模拟退火算法会以一定的概率接受比当前更差的解，因此，它可以在一定程度上避免陷入局部最优的问题。

维基百科中关于模拟退火算法的详细过程如下(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E6%8B%9F%E9%80%80%E7%81%AB)：

1、初始化

生成一个可行的解作为当前解输入迭代过程，并定义一个足够大的数值作为初始温度。

2、迭代过程

迭代过程是模拟退火算法的核心步骤，分为新解的产生和接受新解两部分：

1. 由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
2. 计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
3. 判断新解是否被接受，判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则：若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率 exp（-Δt′/T）接受S′作为新的当前解S。
4. 当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S（是算法迭代的起点）无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率1收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

3、停止准则

迭代过程的停止准则：温度T降至某最低值时，完成给定数量迭代中无法接受新解，停止迭代，接受当前寻找的最优解为最终解。

4、退火方案

在某个温度状态T下，当一定数量的迭代操作完成后，降低温度T，在新的温度状态下执行下一个批次的迭代操作。

本次待解决的问题与上一篇文章中提到的问题相同，都是TSP最短路径的问题，测试数据也一样。需要注意几个问题:

1、初始的温度如何选择。没有太大关系，本文设置为100.

2、退火因子：0.98 即没执行一次，初始温度变成 t = t*0.98.

3、停止温度。本文设置为50.

4、对于邻域中的解，如果当前解S比上一个解S′更优，即路径更短（亦即Δt′<0），则接受当前解S替换上一个解S′。否则，以概率 exp（-Δt′/T）接受S′作为新的当前解S。

测试数据从http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/tsp/a280.tsp.gz

源代码可以从github上下载：

https://github.com/liuyunpeng788/simulate-annealing-algorithm.git

核心代码：

print "模拟退火算法查找最短路径："

### 参数：最小路径的最后一个节点和邻域

def valSimulateAnnealSum(curnode,nextnodeList,t):

    if nextnodeList == None or len(nextnodeList) < 1 :

        print "empty"

        return 0

    maxcost = sys.maxint

    retnode = 0

    for node in nextnodeList:

       # print "curnode : ",curnode ," node: " ,node ," mincost : ",mincost 

       t *= 0.98  ## 退火因子

       if arr[curnode][node] < maxcost :

          maxcost = arr[curnode][node]

          retnode = node

       ## 以一定的概率接受较差的解

       else:

           r = uniform(0,1)

           if arr[curnode][node] > maxcost and t > t_min and math.exp(( arr[curnode][node] - maxcost ) / t) > r:

               retnode = node

               maxcost = arr[curnode][node]

               return (retnode,maxcost,t)

    return (retnode,maxcost,t)

    测试结果（含与爬山法做对照）：

模拟退火算法：

        路径节点个数： 280

        最小花费为： 12485.44

爬山法：

        路径节点个数： 280

        最小花费为： 23442.51

迪杰斯特拉算法：

        路径节点个数： 280

        最小花费为： 3222.45          

       从实验结果上来看，模拟退火算法比爬山法得到的最短路径更优，但是比迪杰斯特拉算法算法却差了很多。为什么？

        因为爬山法得到的是一个局部最优的解，在本例中，因为它是从邻域中获取候选集，如果从候选集中取出的解S'比当前解S更优，那将S' 替换为S。反之，则返回当前解S。因而极有可能陷入局部最优的陷阱。

    ​    ​而模拟退火算法则以一定的概率接受较差的解S', 从而使得它有可能跳出局部最优解的问题。

    ​    ​而迪杰斯特拉算法算法强调的是从全局的解当中，每次选择最短路径的节点作为最优解，因而它的路径无疑是全局最优的。但是，当数据量很大的时候，它的性能消耗也是非常吓人的。对于本例来说，如果采用迪杰斯特拉算法，它的时间复杂度是O(N!).

模拟退火算法

爬山法

迪杰斯特拉算法