fft（快速傅里叶变换）学习草稿，逆dft证明

先上最原始的式子（模n意义下）：

ci=∑j=0iaj∗bi−j

变形一下：

ci=∑j∑kaj∗bk∗[−i+j+k==0](1)

考虑怎么判断一个数是否等于0，观察下面的式子：

[p==0]=∑n−1i=0wipn(w是单位复数根)

现在要证明它是对的
1.当p=0时，i∗p=0，所以wip=1，而总共有n项，除n后恰好等于1。
2.当p≠0时，直接用等比数列求和。

Sn=a1∗1−qn1−q，代数进去Sn=w0∗1−wpn1−wp，由于wn=1，所以Sn=0

得证。

那么把[p==0]=∑n−1i=0wipn代入(1)

ci=∑j∑kaj∗bk∗[−i+j+k==0]ci=1n∑j∑kaj∗bk∑l=0n−1w−il∗wjl∗wklci=1n∑l=0n−1w−il∗(∑j=0n−1aj∗wjl)∗(∑k=0n−1bk∗wkl)

对应到dft上，∑n−1l=0∑n−1j=0aj∗wjl和∑n−1l=0∑n−1k=0bk∗wkl相当于对a,b数组各做一次dft，而为了最后得到ci还要把a,b对应的点值乘起来，设dl=(∑n−1j=0aj∗wjl)∗(∑n−1k=0bk∗wkl)，即

ci=1n∑l=0n−1w−il∗dl

这就是我们熟悉的逆dft！这样就证明了逆dft的由来。%fzr大爷！