卷积的再理解

1. 卷积的卷怎么理解？

卷积为什么叫「卷」积？

• 卷积就是将二元函数 U(x,y)=f(x)g(y) 卷成一元函数 V(t)，套用互联网界十分流行的一个词汇，叫降维打击；

  那么如何卷呢？考虑到 f 和 y 应该平等，或者说对其所关于的变量 x 和 y 没有理由区别对待，因此一种可取的方法就是沿直线 x+y=t 卷起来：

  V(t)=∫x+y=tU(x,y)dx=∫xf(x)g(t−x)dx

• convolute 本身就有使卷绕、使盘旋的意思，在卷积积分 f(x)=∫τh(τ)g(t−τ)dτ 中卷的含义在于将 g(τ) 翻转成 g(t−τ)

2. 卷积的简单应用

• 计算两个数的乘法：

  
  
  

  第二个等号右边每个括号里的系数构成的序列 (14, 34, 14, 4)（分别对应 100,101,102,103），其实就是序列 (2,4) 和 (7,3,1) 的卷积。

  在乘数不大时这么干显得有点故弄玄虚，不过要计算很长很长的两个数乘积的话，这种处理方法就能派上用场了，因为你可以用快速傅立叶变换 FFT 来得到卷积。

3. 客观世界中的卷积

卷积是大自然中最常见的运算，一切信号的观测、采集、传输和处理都可以用卷积过程模拟。比如，你拍照时手抖了一下（拍照是一种无氧运动），导致照片模糊，实际上等价于手没抖拍摄的正常照片与一个表示手抖的卷积核进行卷积运算的结果：

Y(m,n)===X(m,n)∗H(m,n)∑i=−∞∞∑j=−∞∞X(i,j)H(m−i,n−j)∑i=−∞∞∑j=−∞∞X(m−i,n−j)H(i,j)