对称矩阵特征向量正交推导

对于对称方阵A，如有特征解λ1对应特征向量p1，特征解λ2对应特征向量p2，根据特征向量的定义，有：

A * p1 =  λ1 * p1 ①

A * p2 =  λ2 * p2 ②

如p1和p2正交，则必有p1' * p2 = 0，欲证明此式，可构造非零表达式常数K，使得K * (p1' * p2) = 0，而因λ1和λ2是不同的特征解，即λ1 != λ2，故K式可为λ2 - λ1，下面来构造此式：

① 左乘p2'，得：

 p2' * A * p1 =  λ1 * p2' * p1 ③

②左乘p1',得：

 p1' * A * p2 =  λ2 * p1' * p2④

p2' * p1由于p1和p2都是列向量，故结果为1X1矩阵，亦即p2' * p1 = p1' * p2 ， ③式等价于：

 p2' * A * p1 =  λ1 * p1' * p2 ⑤

④ - ⑤式，得

p1' * A * p2 -  p2' * A * p1 =(λ2 - λ1) *  (p1' * p2) ⑥

⑥式等号左边为：

∑p1i * Aij * p2j - ∑p2i *Aij * p1j ⑦，又因A是对称矩阵，故有Aij ==Aji，故⑦可化为∑p1i * Aij * p2j - ∑p2i * Aji * p1j = ∑p1i *Aij * p2j - ∑p1j* Aji * p2i  = ∑p1i *Aij * p2j - ∑p1i* Aij * p2j = 0

故⑥等式右边(λ2 - λ1) *  (p1' * p2) = 0，因λ2 ！= λ1，故p1' * p2必为0，亦即p1和p2正交，证毕。