范数 & 距离

范数

我们知道距离的定义是一个宽泛的概念，只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。范数是一种强化了的距离概念，它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解，我们可以把范数当作距离来理解。

在数学上，范数包括向量范数和矩阵范数，向量范数表征向量空间中向量的大小，矩阵范数表征矩阵引起变化的大小。一种非严密的解释就是，对应向量范数，向量空间中的向量都是有大小的，这个大小如何度量，就是用范数来度量的，不同的范数都可以来度量这个大小，就好比米和尺都可以来度量远近一样；对于矩阵范数，学过线性代数，我们知道，通过运算AX=B，可以将向量X变化为B，矩阵范数就是来度量这个变化大小的。

向量的范数定义：向量的范数是一个函数||x||,满足非负性||x|| >= 0，齐次性||cx|| = |c| ||x|| ，三角不等式||x+y|| <= ||x|| + ||y||。

常用的向量的范数：

L0 范数

表示向量中非零元素的个数:

||x||0=#(i) with  xi≠0

L0范数的最优化问题是一个NP 问题;

L1范数:  ||x|| 为x向量各个元素绝对值之和。
L2范数:  ||x||为x向量各个元素平方和的1/2次方，L2范数又称Euclidean范数或者Frobenius范数
Lp范数:  ||x||为x向量各个元素绝对值p次方和的1/p次方

L∞范数:  ||x||为x向量各个元素绝对值最大那个元素的绝对值，如下：

椭球向量范数: ||x||A  = sqrt[T(x)Ax]， T(x)代表x的转置。定义矩阵C 为M个模式向量的协方差矩阵， 设C’是其逆矩阵，则Mahalanobis距离定义为||x||C’  = sqrt[T(x)C’x], 这是一个关于C’的椭球向量范数。

2 距离

欧式距离（对应L2范数）：最常见的两点之间或多点之间的距离表示法，又称之为欧几里得度量，它定义于欧几里得空间中。n维空间中两个点x1(x11,x12,…,x1n)与 x2(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：

也可以用表示成向量运算的形式：

曼哈顿距离：曼哈顿距离对应L1-范数，也就是在欧几里得空间的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。例如在平面上，坐标（x1, y1）的点P1与坐标（x2, y2）的点P2的曼哈顿距离为：，要注意的是，曼哈顿距离依赖座标系统的转度，而非系统在座标轴上的平移或映射。

切比雪夫距离，若二个向量或二个点x1和x2，其坐标分别为(x11, x12, x13, ... , x1n)和(x21, x22, x23, ... , x2n)，则二者的切比雪夫距离为：d = max(|x1i - x2i|)，i从1到n。对应L∞范数。

闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)，闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。对应Lp范数，p为参数。

闵氏距离的定义：两个n维变量（或者两个n维空间点）x1(x11,x12,…,x1n)与 x2(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为： 

其中p是一个变参数。

当p=1时，就是曼哈顿距离，

当p=2时，就是欧氏距离，

当p→∞时，就是切比雪夫距离，       

根据变参数的不同，闵氏距离可以表示一类的距离。 

Mahalanobis距离：也称作马氏距离。在近邻分类法中，常采用欧式距离和马氏距离。