卷积的意义

卷积

最近总是和卷积打交道,工作需要，每天都要碰到它好几次,不胜烦恼,因为在大学时候学信号与系统的时候就没学会，我于是心想一定要把卷积完全搞明白。正好同办公室的同学也问我什么是卷积,师姐昨天也告诉我说:"我也早就想把这个问题搞明白了！"经过一段时间的思考之后，有一些很有趣的体会和大家分享。

听说卷积这种运算式物理学家发明的，在实际中用得不亦乐乎，而数学家却一直没有把运算的意义彻底搞明白。仔细品以下，还是有那么点滋味的。

下面先看一下剑桥大学的教科书对卷积的定义：

我们都知道这个公式，但是它有什么物理意义呢，平时我们用卷积做过很多事情，信号处理时，输出函数是输入函数和系统函数的卷积，在图像处理时，两组幅分辨率不同的图卷积之后得到的互相平滑的图像可以方便处理。卷积甚至可以用在考试作弊中，为了让照片同时像两个人，只要把两人的图像卷积处理即可，这就是一种平滑的过程，可是我们怎么才能真正把公式和实际建立起一种联系呢，也就是说，我们能不能从生活中找到一种很方便且具体的例子来表达公式的物理意义呢？

有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。

有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官——县令。

无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天 如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天......每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已 经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！

县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？......想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题：

——人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？

——费话，疼呗！

——我问的是：会有什么表现？

——看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出0）；如果一次连揍他十个板子， 他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼（输出1）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出3）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫， 一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出5）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉强哼出声来（输出1）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出0）—— 死啦！

县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为X轴，以哼哼的程度（输出）为Y轴，绘制了一条曲线：

——呜呼呀！这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？

——呵呵，你打一次的时间间隔（Δτ=24小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔 （建议Δτ=0.5秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（t=30）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果， 再多打就显示不出您的仁慈了。

——还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？

——这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失 （衰减），而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献：

t个大板子造成的痛苦程度=Σ(第τ个大板子引起的痛苦*衰减系数)[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]

数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)

——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？

——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？

——恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来——但有一点是明确地——来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打40大板！

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怎样通俗易懂地解释卷积？

已知

已知

下面通过演示求的过程，揭示卷积的物理意义。

第一步，乘以并平移到位置0：

第二步，乘以并平移到位置1：

第三步，乘以并平移到位置2：

最后，把上面三个图叠加，就得到了：

简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。

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从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。

对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应 加权叠加，就直接得到了输出信号。

通俗的说：
在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。
这正是单位响应是如此重要的原因。

也谈卷积，假如你被别人打了一拳，这一拳会在1小时疼痛消失[这一拳轻重不同，所以虽说都在一个小时消失，但是在1个小时内感觉的疼痛也不一样。设最轻(注意)的一拳在一小时内的疼痛感觉函数为h(t），二倍的最轻力度打你，疼痛感就是2h(t)对吧，f(n)倍最轻力度，就是f(n)h(t)了吧]，当别人在一小时内在第一秒，第二秒，第三秒.....第六十秒……动武时，可设f(n)为每次的轻重函数，这就是说在0到2小时内你会感觉疼，那么在这0到2小时的任意一个时刻的疼痛程度Y(t)怎么表示呢？（自己先可以算一下，算出来的话下面的就不用看啦）——肯定是每拳的疼痛效果叠加啦既0到n的f(n)h(t-n)相加，如f(1)h（t－1）＋f(2)h(t-2)……，当n很小时，为0.00000001时，就用积分符号啦。n次抽象为τ就是我们平时的f(t)与h(t)的卷积啦！

f(t。）是t。时刻的拍打力度，而h（t－t。）是这一时刻拍打的疼痛感的衰减函数，都是相对开始时间0点讨论的，而在t。时刻的感觉，是需要加上之前每次所拍打的衰减后的疼痛感之和！