斐波那契数列

对于斐波那契有递归方程

{fn=fn−1+fn−2f2=f1=1

斐波那契数列的通项

Binet公式

数列有

fn=fn−1+fn−2

根据特征根方程的方法，得出特征根方程

x2=x+1

解出根为

x1=1+5√2,x2=1−5√2

此时，fn就可以表示成跟x1,x2相关的数列了。

fn=axn1+bxn2

通过带入n=1,n=2得出系数。

则

fn=15√[(1+5√2)n−(1−5√2)n]

母函数表示

设数列的母函数为

F(x)=f1x+f2x2+f3x3+...+fnxn+...

则

xF(x)=f1x2+...+fnxn+1+...

x2F(x)=f1x3+...fnxn+2+...

利用上式

(1−x−x2)F(x)=1

F(x)=11−x−x2

矩阵表示

设

A=[1110]

矩阵A的特征方程为

|A−λI|=∣∣∣1−λ11−λ∣∣∣=λ2−λ−1

得出

A2−A−I=0,I为单位矩阵

则有

An=An−1+An−2

跟斐波那契数列一模一样吧。
而且

An=[fn+1fnfnfn−1]

可以利用这个和快速幂一起求A^n来加速求fn的过程。

几个等式

Cssini恒等式

fn+1fn−1−f2n=(−1)n

证明：
直接利用上面的

An=[fn+1fnfnfn−1]

取行列式得

|An|=fn+1fn−1−f2n=|A|n=(−1)n

一阶递归表示

fn=12(fn−1+5f2n−1−4∗(−1)n−−−−−−−−−−−−−−√)

组合数表示

fn=C0n−1+C1n−2+C2n−3+...=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪C0n−1+C1n−2+C2n−3+...+Cn−12n−12，n为奇数C0n−1+C1n−2+C2n−3+...+Cn−22n2，n为偶数

不知道叫什么

fn+2=fn+1+fn=fn+(fn−1+fn)=fn+fn+(fn−fn−2)=3fn−fn−2

f1+f2+f3+...+fn=fn+2−1