名人问题

题目:

      在一次聚会中，你想找出来聚会的人中所有的名人，名人就是别人认识他，而他不认识别人。现在在聚会的k个人中，输入邻接矩阵adj[i][j]用来表示他们之间的关系，其中   adj[i][j]=1表示i认识j,adj[i][j]=0表示i不认识j。

输入:   第一行输入k，表示一共有k个人,编号从1到n

            之后k行输入邻接矩阵

输出;   输出所有名人的编号，没有名人则输出-1

输入示例:                                                     输出示例

3                                                                   2

0 1 0

0 0 0

1 1 1

分析:拿到这题，最简单的方法就是对于每个人i，进行遍历，在i确定时，再遍历j,进行i和j之间的关系判断，最后找到名人,这个方法时间复杂度达到O(n^2),不是很有效率，这时我们就想能否找到一个时间复杂度只有O(n)的解决方案，答案是有的，而且不止一个，现在一一道来:

想要进行优化，我们首先要知道一个问题，名人最多只有一个，不可能同时存在两个名人，这是很容易想的，我就不过多废话，并且在adj[i][j]=0,我们知道i不认识j,那么根据名人的定义，j肯定不是，如果adj[i][j]=1,那么也很容易得到i不是名人，那么这样在无论adj[i][j]是0还是1的情况下，都能排除其中一个人不是名人，那么只需要在剩下的人中进行查找即可.

那么我们就可以将目前比较的人i,j保存在数组的前两个元素中，每次判断后都从将数组的最后一个人替换掉刚才不是名人的那个人，直到判断到只剩下一个人，那么再对那个人进行具体的判断,具体源码见下:

#include<iostream>using namespace std;#define Max 10000int n;int adj[Max][Max];int findFamous(){int person[Max];           // person存放还未判断是不是名人的数组 for(int i=0;i<n;i++){person[i]=i;}int count=n;while(count>1){if(adj[0][1])                    //第一个人认识第二个人,说明第一个人不是名人   person[0]=person[--count];     //从 person中删除第一个人     else      person[1]=person[--count];      //第二个人认识第一个人,说明第二个人不是名人                                     //从 person中删除第二个人 }//剩下只有person[0]才有可能是名人，再进行完全判断一下for(int i;i<n;i++){if(person[0]!=i && (adj[person[0]][i]==1 || adj[i][person[0]]==0))   return -1;} return person[0]+1;}int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++)  cin>>adj[i][j];}cout<<findFamous()<<endl;return 0;}

下面的一个方法和上面的思想类似，只是i,j一开始分别指向数组的第一个人和最后一个人，在比较后，那一边的人不是名人，那么i或者j指针就分别向中间移动，直到最后i=j.

#include<iostream>using namespace std;#define Max 10000int n;int adj[Max][Max];int findFamous(){                                 //i,j的意义: int i=0,j=1;                 //i,j表示有可能是名人的两个人                             //且下标为0~i-1的人不是名人;下标i+1~j-1的不是名人 while(j<n){if(adj[i][j])                    //i认识j,说明i不是名人，那么这时 标为0~i-1和下标i+1~j-1再加上                                  //i不是名人，则0到j-1都不是名人，则i=j,这时还是满足i,j的意义   i=j;                                          //在i认识j时，直接j++,就行，i+1~j-1范围扩大一个j++; //但是这里要注意的是，即便i认识j,j还是要自加 //这时i,j意义还是满足的 }//i,j不断增大，最终j>=n超出下标范围,i表示最终有可能的名人 //剩下只有person[0]才有可能是名人，再进行完全判断一下for(int k=0;k<n;k++){if(k!=i && (adj[i][k]==1 || adj[k][i]==0))   return -1;} return i+1;}int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++)  cin>>adj[i][j];}cout<<findFamous()<<endl;return 0;}

最后的一个方法则有点绕，i<j,且i,j的意义是：i,j表示有可能是名人的两个人 ，且下标为0~i-1的人不是名人;下标j+1~n-1的不是名人 ,具体的i,j的变化趋势见如下代码:

#include<iostream>using namespace std;#define Max 10000int n;int adj[Max][Max]; int findFamous(){                                 //i,j的意义: int i=0,j=n-1;                //i,j表示有可能是名人的两个人                               //且下标为0~i-1的人不是名人;下标j+1~n-1的不是名人 while(i<j){if(adj[i][j])                    //i认识j,说明i不是名人，那么这时 i++,则i左侧不是名人的范围扩大   i++;          else                            //在i认识j时，直接j--,就行，j+1~n-1范围扩大一个  j--; }//最终i=j,由逻辑上可以知道，最对只有一个名人，下标为i,则最终i左边0~i-1和i右边i+1~n-1都不是名人 for(int k=0;k<n;k++){if(k!=i && (adj[i][k]==1 || adj[k][i]==0))   return -1;} return i+1;}int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++)  cin>>adj[i][j];}cout<<findFamous()<<endl;return 0;}

PS:上学后，事情多，争取每周两篇左右，每篇一道算法题目的分析~