堆排序：什么是堆?什么是最大堆?二叉堆是什么？堆排序算法是怎么样的？PHP如何实现堆排序？

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什么是堆

这里的堆(二叉堆),指得不是堆栈的那个堆,而是一种数据结构。

堆可以视为一棵完全的二叉树,完全二叉树的一个“优秀”的性质是,除了最底层之外,每一层都是满的,这使得堆可以利用数组来表示,每一个结点对应数组中的一个元素.

数组与堆之间的关系

二叉堆一般分为两种：最大堆和最小堆。

什么是最大堆

堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点（如果存在）,这样的堆就是一个最大堆

因此,最大堆中的最大元素值出现在根结点(堆顶)

节点与数组索引关系

对于给定的某个结点的下标i，可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标，而且计算公式很漂亮很简约

第二块,怎么将堆调整为最大堆,这部分是重点

整个过程如下图所示

在4,14,7这个小堆里边,父节点4小于左孩子14,所以两者交换

在4,2,8这个小堆里边,父节点4小于右孩子8,所以两者交换

上图展示了一趟调整的过程,这个过程递归实现,直到调整为最大堆为止

第三块,堆排序介绍

堆排序就是把堆顶的最大数取出,

将剩余的堆继续调整为最大堆,具体过程在第二块有介绍,以递归实现

剩余部分调整为最大堆后,再次将堆顶的最大数取出,再将剩余部分调整为最大堆,这个过程持续到剩余数只有一个时结束

下边三张图详细描述了整个过程

 

具体PHP实现：

/**

 * 使用异或交换2个值，原理：一个值经过同一个值的2次异或后，原值不变

 * @param int $a

 * @param int $b

 */

function swap(&$a,&$b){

    $a = $a^$b;

    $b = $a^$b;

    $a = $a^$b;

}

 

/**

 * 整理当前树节点（$n），临界点$last之后为已排序好的元素

 * @param int $n

 * @param int $last

 * @param array $arr

 *

 */

function adjustNode($n,$last,&$arr){

    $l = $n<<1;   // 左孩子

    if( !isset($arr[$l])||$l>$last ){

        return ;

    }

    $r = $l+1;  // 右孩子

    // 如果右孩子比左孩子大，则让父节点与右孩子比

    if( $r<=$last&&$arr[$r]>$arr[$l] ){

        $l = $r;

    }

    // 如果其中子节点$l比父节点$n大，则与父节点$n交换

    if( $arr[$l]>$arr[$n] ){

        swap($arr[$l],$arr[$n]);

        // 交换之后，父节点($n)的值可能还小于原子节点($l)的子节点的值，所以还需对原子节点($l)的子节点进行调整，用递归实现

        adjustNode($l, $last, $arr);

    }

}

 

/**

 * 堆排序（最大堆）

 * @param array $arr

 */

function heapSort(&$arr){

    // 最后一个蒜素位

    $last = count($arr);

    // 堆排序中常忽略$arr[0]

    array_unshift($arr, 0);

    // 最后一个非叶子节点

    $i = $last>>1;

    // 整理成最大堆，最大的数放到最顶，并将最大数和堆尾交换，并在之后的计算中，忽略数组最后端的最大数(last)，直到堆顶（last=堆顶）

    while(true){

        adjustNode($i, $last, $arr);

        if( $i>1 ){

            // 移动节点指针，遍历所有节点

            $i--;

        }

        else{

            // 临界点$last=1，即所有排序完成

            if( $last==1 ){

                break;

            }

            swap($arr[$last],$arr[1]);

            $last--;

        }

    }

    // 弹出第一个元素

    array_shift($arr);

}

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