贪心算法

贪心算法的基本思想：在算法迭代的每一步，选择当前状态下最优解，不断重复这一过程，最终得到结果，但这个结果不一定是全局最优的。

算法的优点在于：简便，高效。缺点是：得到的解不一定正确。

贪心算法的分析策略：

• 在算法迭代的每一步，贪心算法的解至少要比其它算法好。
• 寻找一个简单的结构界限，在这个界限内，每一个有可能的解都有确定的值，然后说明贪心算法也在这个界限内。
• 逐渐改变其它方案，向贪心算法转变，而又不影响它的质量。

著名的贪心算法有：Kruskal, Prim, Dijkstra, Huffman, …

设计贪心算法的步骤：

1. 将问题转换为这样的形式：对其做出一次选择后，只剩下一个子问题需要求解。
2. 证明做出贪心选择后，原问题总是存在最优解，即贪心选择总是安全的。这种证明通常首先考察某个子问题的最优解，然后用贪心选择替换某个其它选择来修改此解，从而得到一个相似但更小的子问题。
3. 证明做出贪心选择后，剩余的子问题满足性质：其最优解与贪心选择组合即可得到原问题的最优解，这样就得到了最优子结构。

贪心选择性质：通过做出局部最优（贪心）选择来构造全局最优解。也就是说，直接选择当前问题中看起来是最优的选择，而不必考虑子问题的解。

最优子结构：如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，则称此问题具有最优子结构性质。

常见的贪心算法问题：

1. 不带权重的活动选择问题：
   问题描述：

2. 分数背包问题：
   问题描述：一个正在抢劫商店的小偷发现了n个商品，第i个商品的价值式是vi美元，重wi磅，对于每个商品，小偷可以拿走一部分，而不是只能做二元（0-1）选择，他的背包最多能容纳W磅的商品。他应该拿哪些商品呢？
   算法设计思路：分数背包问题要区别于0-1背包问题，0-1背包问题不能采用贪心算法，需要用到动态规划。而分数背包问题可以采用贪心策略。传统的算法设计思路是将每件商品的性价比（wi/vi）排序，然后从大到小依次选择，这种方法需要的运行时间为O(nlogn)。这里给出一种只需要O(n)时间的算法设计方法：
   对于商品集合的商品，我们没有必要知道所有商品的性价比排序，比如说，假设商品a1，a2，a3是性价比最高的三件商品，只要它们的重量之和不大于W，就没有必要知道它们的相对顺序，将它们三个全部放入背包即可。基于这种思想，可以设计如下算法：

1、首先利用线性查找算法找出物品单位价值的中位数m;2、利用中位数m对所有物品进行划分成三个集合 WG ={Vi/Wi>m  } WE = {Vi/Wi=m}  WL = {Vi/Wi<m},计算 WG、WE、WL集合中物品的总重量；3、若 WG>W，则不往背包中放任何物品，从Step1开始继续分解WG；4、若 WG<W，则把WG中的物品全部放入背包，并且尽可能多地放WE中的物品；5、若 WG+WE>=W,则把物品全部放入结束；6、若 WG+WE<W,则把WG+WE的物品全部放入，从Step1开始继续分解WL。 算法参考：http://blog.csdn.net/u010339647/article/details/50588554

        此递归算法满足T(n) = T(n/2)+n，由此可以计算运行时间为O(n)。