在unity向量空间内绘制几何(4): 利用平面几何知识画像素直线。

这两年像素很火，《我的世界》也要进入国内了。

问题：假如有一个像素平面，既是一个充满四方格子平面，给出任意两个格子的坐标，画出两个格子间的直线。

接下来，尝试在平面几何的角度下思考并解决这个问题。

已知两个点A,B。

不论这两个点的相对位置，角度关系如何，一定可以以它们为基础画一个直角三角形。

这个三角形的高，既是BC，就是点A与点B在y轴的间距。三角形的长为两点x轴间距。(Latex太麻烦了 -__-，以下直接用文字代替数学符号。）

AC=绝对值（A.x-B.x); BC=绝对值（A.y-B.y); //(公式1）

根据勾股定理，已知两边长，可得出斜边长度。

AB=开方（AC^2+BC^2); //(公式2）

接下来将斜边当成一个点的集合。给一个间距，把这些点都找出来。
知道了起点的坐标，根据公式：

假设有点D，既是线段AB上的任意一点：
D=（A到D的距离）*Vector3.Normalize(B.position-A.position)+A.position; //（公式3）

Vector3.Normalize(B.position-A.position)得出的是从A走向B的方向，知道了方向和距离，每段的间距，即可依次求出斜线上每个点的坐标。

/*
这里在简单介绍下Normalize的算法，因为接下来的代码中会出现：
有vector a [1,2,3]
ax=1 ay=2 az=3
a 的 magnitude (长度): |a|=sqrt((ax*ax)+(ay*ay)+(az*az));
设Normalize后的ax,ay,az为 anx,any,anz,那么
anx=ax/ |a|
any=ay/ |a|
anz=az/ |a|
*/

当得到了AB上这些点的坐标后，我们假定这些点一定覆盖了两个坐标直线距离中的所有像素块之上， 那么只要进一步把这些点的坐标化为像素块的坐标，既找到了所有像素块的坐标。这种坐标转化是一种舍入操作，只要知道了像素块坐标的单位，然后将我们找到的点根据此单位进行舍入即可，例如假设有点D1=1.1,1.9; D2=1.6,1.0; D3=2.1,2.5; 而像素块的单位间隔为1，则舍入后变为，D1=1,1,; D2=1,1; D3=2,2。最后的步骤，删除重复的点，既得出了此两点间直线所经过的所有像素块的点，也既是模拟两点间的像素直线。

思路总结：
已知两点。
1，求两点间距。
2，找出一堆两点直线上的点。
3，将这堆点化为像素世界坐标。
得出直线。

了解了核心步骤，接下来即可写代码：

    //设Point3D为一个存有x,y,z坐标信息的结构体    public static List<Point3D> PathExplore(Point3D start_point, Point3D end_point){        //公式1        int height = Mathf.Abs (start_point.y - end_point.y);        int length = Mathf.Abs (start_point.x - end_point.x);        //公式2        float hypotenuse_length = Mathf.Sqrt(Mathf.Pow (height, 2) + Mathf.Pow (length, 2));        //最终结果，得出的像素块的地址将会保存至此        List<Point3D> tempList = new List<Point3D> ();        //记录前一个被转化为像素块坐标，用于删除同在一个像素坐标内的点。        Point3D previous=new Point3D();        bool init = false;        //此num数量决定了斜边上等距模拟点的数量，合理的数值应正好大于斜边上所经过的像素块数量。        int num = Mathf.CeilToInt(hypotenuse_length) * 2;        //得出公式3中的B.position-A.position之后的数值。        Point3D temp_minus;        temp_minus.x = end_point.x - start_point.x;        temp_minus.y = end_point.y - start_point.y;        temp_minus.z = start_point.z; //由于是一个2D平面，假设Z值都相同。        //temp_minus_normal_x,y,z既是公式3中的Vector3.Normalize(B.position-A.position)得出的值，这里是手动的进行了规格化。        float length_temp_minus = Mathf.Sqrt (temp_minus.x * temp_minus.x + temp_minus.y * temp_minus.y + temp_minus.z * temp_minus.z);        float temp_minus_normal_x=temp_minus.x / length_temp_minus;        float temp_minus_normal_y=temp_minus.y / length_temp_minus;        float temp_minus_normal_z=temp_minus.z / length_temp_minus;        //依次算出每个点的坐标        for (int i = 0; i <= num; i++) {            float temp2_x;            float temp2_y;            float temp2_z;            //公式3            temp2_x = (hypotenuse_length/num*i)*temp_minus_normal_x;            temp2_y = (hypotenuse_length/num*i)*temp_minus_normal_y;            temp2_z = (hypotenuse_length/num*i)*temp_minus_normal_z;            temp2_x += start_point.x;            temp2_y += start_point.y;            temp2_z += start_point.z;            //假设像素块的间距单位为1，这里将点根据像素坐标进行舍入操作            Point3D temp3;            temp3.x = Mathf.FloorToInt (temp2_x);            temp3.y = Mathf.FloorToInt (temp2_y);            temp3.z = Mathf.FloorToInt (temp2_z);            //如果此点与前一点同在一个像素块坐标，忽略并计算下一个点            if (init&&(temp3.x == previous.x && temp3.y == previous.y && temp3.z == previous.z)) {                continue;            }            //将此像素块坐标放入要返回的数组中            tempList.Add (temp3);            previous.x=temp3.x;            previous.y=temp3.y;            previous.z=temp3.z;            init = true;        }        //此数组内的Point3D坐标即为从startPoint至endPoint所有像素格子的坐标        return tempList;    }

效果：

总结:
算法的优势：真实，精确的模拟两点间的直线 。当num为一个较大的数时(相对斜线所经过的像素块），不会出现遗漏的情况（会很精确的爬楼梯）。虽然这种精确并不是计算机在像素级别画线所需要的。

算法的劣势：1，对于在像素领域画线这种重量级操作来说此算法性能太差，计算步骤过于复杂，有些步骤过于消耗性能。只适合效果展示用。2，由于算法思路与传统计算机图形学算法的思路不同，在有些情况下，视觉上一些细节处与传统像素图像会有出路。

附：用C#实现传统的Bresenham’s直线算法
改编于 Ericw.ca
地址：ericw.ca/notes/bresenhams-line-algorithm-in-csharp.html

    /// <summary>    /// Bresenham's line algorithm    /// </summary>    /// <returns>The points on line.</returns>    /// <param name="start_point">Start point.</param>    /// <param name="end_point">End point.</param>    public static List<Point3D> GetPointsOnLine(Point3D start_point, Point3D end_point)    {        int x0 = start_point.x;        int y0 = start_point.y;        int x1 = end_point.x;        int y1 = end_point.y;        List<Point3D> temp = new List<Point3D> ();        bool steep = Math.Abs(y1 - y0) > Math.Abs(x1 - x0);        if (steep)        {            int t;            t = x0; // swap x0 and y0            x0 = y0;            y0 = t;            t = x1; // swap x1 and y1            x1 = y1;            y1 = t;        }        if (x0 > x1)        {            int t;            t = x0; // swap x0 and x1            x0 = x1;            x1 = t;            t = y0; // swap y0 and y1            y0 = y1;            y1 = t;        }        int dx = x1 - x0;        int dy = Math.Abs(y1 - y0);        int error = dx / 2;        int ystep = (y0 < y1) ? 1 : -1;        int y = y0;        for (int x = x0; x <= x1; x++)        {//          yield return new Point((steep ? y : x), (steep ? x : y));            Point3D temp2;            temp2.x = steep ? y : x;            temp2.y = steep ? x : y;            temp2.z = 0;            temp.Add (temp2);            error = error - dy;            if (error < 0)            {                y += ystep;                error += dx;            }        }//      yield break;        return temp;    }