Delaunay三角剖分原理及Qt程序实现

给老师做完项目已经过去一段时间了，回想一下项目中学习到的东西，觉得还是找个地方记下来比较好，当然这也是第一写博客，写的不好还请见谅~下面开始正题

Delaunay三角剖分介绍

如图所示

图中的实线对应的是原有点集PS所对应的三角剖分，而虚线所对应的是Voronoi图，Voronoi图中每一个多边形内部的点，与此多边形内部的PS点集中的点最近（可以从虚线是对应实线的垂直平分线看出）其实Voronoi图也叫泰森多边形，在统计学习里面又称为k-NN模型中的1-NN模型，在此对Voronoi图不作太多说明。

 Delaunay三角剖分具有很好的理论基础和数学特性，其数学的良好特性可以从三角形的最小角最大化可以看出，也就是尽量让PS点集剖分的三角形都接近于锐角三角形，由此我们得出一个较为普适的准则来判断一个三角剖分是不是Delaunay三角剖分

Delaunay准则：

在三角剖分中，外接圆内部不包含任何网格顶点（PS集中的点）的三角形成为符合Delaunay准则的三角形，Delaunay准则也被称为空外接圆准则

因此，在Delaunay三角剖分中的每一个三角形都因该满足Delaunay准则，此准则在后面我们进行剖分的时候会有很重要的判别作用

闲话不多说了，下面就开始剖分步骤：

使用的是经典的Delaunay三角化方法——增量算法，又称为Bowyer-Watson算法，示意图如下：

当新增加 一个点时，遍历所有的三角形，如果此三角形的外接圆包含这个新点，则将这些三角形从三角形列表中删除，并将这些三角形的三个顶点与此点相连，所形成的新的三角形放入三角形列表中，可能会问，一开始哪有什么三角形网格（列表）。方法：一开始我们会建立一个超级大的三角形，以至于可以包含所有PS中的点，作为初始的三角形列表，这样就可以开始后面的步骤了吧~

算法输入 一个点集PS

算法输出：点集PS 的Delaunay三角剖分DTS（PS）

算法的步骤：

1.生成一个包含此点集合PS 中所有点的超级三角形T0作为初始的Delaubay三角网格（列表），记下T0的顶点

2.任意的P属于PS

1）将外接圆包含P的三角形全部找出，记下这些三角形所组成的区域边界，并删除这些三角形

2）将点P和空洞边界上的每一个边连成的新的三角形，并且加入三角形网格（列表）中

3任意的T属于三角形列表，如果T的顶点中含有超级三角形的顶点，将此三角形删去

算法结束

至于如何判断一个三角形是否包含新加入点的方法，由于时间太久，印象不深了，好像是向量叉乘，代码中应该会有~当然也可以用外接圆的半径来判断新点是否在三角形的外接圆中

剖分后的效果

代码链接：

http://download.csdn.net/detail/eularisu/9769996