算术基本定理

例题一 计算N！末尾0的个数

输入：第一行上有个数字，表示接下来要输入数字的个数。然后是m行，每行包含一个确定的正整数n，1<=n<=1 000 000 000

输出：对输入行中每一个数据n，输出一行，其内容是n！中末尾0的个数

分析：对于任意一个正整数，那么其末尾0必然可以分解成2*5，每一个0必然和一个因子5对应。但一个0不一定对应着一个0，因为还需要一个因子2，才能实现一一对应。

对于你n！，在因式分解中，2的因子个数要大于5的因子个数，所以本题就变成了求n！中因子5的个数。

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int m;    cin>>m;    while(m--)    {        int n;        while(scanf("%d",&n)!=EOF)        {            int five=5;            int sum=0;            while(five<=n)            {                sum=sum+n/five;                five=five*5;            }            cout<<sum<<endl;        }    }    return 0;}

例题二 组合素数

题目大意：给你两个整数N和P，求出C(2*N，N)被素数p整数的次数

思路：

由算术基本定理可得到N!被素数P整除的次数。

来看这道题，C(2*N，N) = (2*N)! / (N! * N!)。最终结果就是从(2*N)!能被素数P整除的

次数里边减去N!能被素数整除的次数*2。最终结果为：

[2*N/P] + [2*N/P^2] + … + [2*N/P^t] - 2*([N/P] + [N/P^2] + … + [N/P^t])。

其中次数t = logP(2*N)，即log10(2*N) / log10(P)。

输入：第一行是一个正整数t，表示测试数据的组数，接下来每组两个数分别是n，p的值,这里1<=n<=1 000 000 000

输出：输出被素数p整除的次数，如果不能被其整除时，输出0.

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;int main(){    int t;    cin>>t;    while(t--)    {        int n,p;        int sum=0;        int tag=1,q;///tag的用法，有点巧妙        double s;        scanf("%d%d",&n,&p);        s=log10(2.0*n)/log10(p);        q=(int)s;        for(int i=1; i<=q; i++)        {            tag=tag*p;            sum=sum+(int)(2*n/tag)-2*(int)(n/tag);        }        cout<<sum<<endl;    }    return 0;}