浅谈贪心

前言

贪心是OI里常见的一种题，与DP长得很像，但个性完全不一样；有时候容易掉入贪心的坑里想不到DP，有时却只认为DP是对的而想不到贪心，所以，特此来做一个总结，浅谈一下我所遇到的贪心题，巩固基础.

T1：

Link：

https://jzoj.net/senior/#contest/show/1951/1

Problem：

要求在一个[1..n]的区间里种树，有h个特殊区间，每个特殊区间的范围[li..ri]中至少要有ti颗树，求最少的树的数量.

Constraint：

30%的数据满足0<n<=1000；0<h<=500
100%的数据满足n<=30000；h<=5000

Solution：

考虑贪心.

我们按照ri从小到大排序.

那么贪心的思路就是，每次植树时尽量在区间的尾部植树，这样才可能会与后面结束的区间重复，尽量种少树.

不难理解，因为数据太弱，直接暴力求解即可.

Code：

var        sum:array[0..300000] of longint;        st,en,t:array[1..5000] of longint;        n,h,i,j,x,ans:longint;procedure sort(l,r:longint);var        i,j,mid,p:longint;begin        i:=l; j:=r;        mid:=en[(l+r) shr 1];        while i<j do        begin                while (en[i]<mid) do inc(i);                while (en[j]>mid) do dec(j);                if i<=j then                begin                        p:=st[i]; st[i]:=st[j]; st[j]:=p;                        p:=en[i]; en[i]:=en[j]; en[j]:=p;                        p:=t[i]; t[i]:=t[j]; t[j]:=p;                        inc(i); dec(j);                end;        end;        if l<j then sort(l,j);        if i<r then sort(i,r);end;begin        readln(n,h);        for i:=1 to h do                readln(st[i],en[i],t[i]);        sort(1,h);        for i:=1 to h do        begin                x:=0;                for j:=st[i] to en[i] do                        inc(x,sum[j]);                if x>=t[i] then continue;                x:=t[i]-x;                inc(ans,x);                j:=en[i];                while x>0 do                begin                        if sum[j]=0 then                        begin                                sum[j]:=1;                                dec(x);                        end;                        dec(j);                end;        end;        writeln(ans);end.

T2

https://jzoj.net/junior/#main/show/1138

T3

https://jzoj.net/senior/#contest/show/1922/2

T4

Link

https://jzoj.net/senior/#contest/show/1937/1

Problem

有n种石桥，每种石桥对应两个参数p[i],v[i]，还有m种原料，也对应两个参数h[i],d[i]，我们要保证每一个石桥i对于一种修理原料j有h[j]>=p[i],d[j]>=v[i]，这样才可用原料j修理石桥i，且所需要的费用为h[j]，求使得所有石桥被修复的最少费用.

Data constraint

Solution

分析一下题意，题意是让我们从m个二元组中找出n组与另外n个二元组配对，并使得n个二元组当中的每一个二元组满足h[j]>=p[i],d[j]>=v[i]，且使得∑hi最小.

注意这题的关键是每一个二元组都需要被配对.

简单的思路，既然要∑hi最小，那我就按hi去贪心.

我把pi为第一关键字，vi为第二关键字，按从小到大排个序.

每次对于一个二元组(pi,vi)，找出对应的最优的hj,dj，并满足题目所述条件.

每次找最优的应按照hj尽量小的情况下dj尽量小.

但显然这样做是不对的，因为这样子的贪心不会满足题目的关键：每一二元组都要配对.

仔细想想可以发现，如果按照hj尽量小贪心，那如果下次来一个二元组(pi+1,vi+1)，而vi+1非常大，只能用(hj,dj)去配对，那么这样就找不到一个新的二元组(hj′,dj′)去与之配对了.

所以我们需要换一个思路贪心.

我们发现，以vi为第二关键字的贪心都是错的（本题贪心关键）

错的原因在于我们贪心的是h的值，而我们又把h对应的p做为第一关键字，p做为第一关键字，自然h也跟着是第一关键字了，那么就无暇考虑到v了，所以，我们应当改正贪心思路：

我们按照v从大到小排个序，这样子能保证每次使得p的最优情况下v也最优，那么两个条件都最优了，最终答案一定最优.

注意每次选数时一定要选最合适的，即在保证hj尽量小的情况下dj也尽量小.

这样子本题就可以拿到60分了，而100分的算法则用了平衡树来维护，即每次找到一个最合适的数这部分可以优化.

T5

Link

https://jzoj.net/senior/#contest/show/1983/0

Problem

给定一串数，把其中一个数ai变成h，需要|ai−h|的费用，使变化后整个序列相邻数的差的绝对值之和最小.

Data constraint

对于10%的数据，有N≤10；
对于30%的数据，有A[I]≤1000；
对于40%的数据，有N≤1000；
对于100%的数据，有N≤100000，A[I]≤10000000。

Solution

如果对于一个数ai，满足ai−1<ai<ai+1，那么ai改动，不会使答案更优.

因为我们要明白，对于一个数ai，它只对相邻的两个数有价值

也就是无后效性，我们不管它怎么变，与ai+1变没有影响.

怎么更深入的理解“与ai+1没有影响呢”呢？

我们可以举几个例子去验证，当然也可以感性加理性的理解.

不难发现，如果对于一个数ai，改变它时，造就了ai+1的影响，那么这个影响不会使得答案更优.

因为ai+1被影响时，也需要付出相应的代价，而当前正在修改的是ai的值，ai+1只对ai和ai+2有价值，所以答案不会更优.

当然这么理解也有点感性了，其实可以讨论一下ai−1,ai,ai+1的关系，依次列举几个数，就会发现答案的正确性.

那么贪心的策略就很显然了：

对于形如ai−1>ai<ai+1，我们就把ai变为相应的较小值和较大值，这样做，答案肯定是最优的.

pay attention to：

像这一类n,ai都很大，又不知如何下手的题目，可以考虑贪心，当自认为找到一种合理的贪心，但又被自我否定时，要多举几个例子去验证，不要一贯的跟着自己的思路走.

有时严谨并不严谨.

T6

https://jzoj.net/senior/#main/show/1220

T7

https://jzoj.net/senior/#main/show/3804

T8

https://jzoj.net/senior/#main/show/3822

T9

https://jzoj.net/senior/#contest/show/2045/1

Problem

给定n个任务，每个任务会有一个时刻和价值，每一时刻只能做一个任务，且超过时刻的任务不可做，求最大价值.

Data constraint

20%的数据，n<=100。
40%的数据，n<=50000。
100%的数据，n<=200000，快乐值的绝对值不超过32767，时刻非负且小于2^31。

Solution

做过一道原题，可再做一遍还是没做出，可悲！

一开始就想到了维护一个小根堆，可惜贪心的思想错了；

我考场时按价值排了序，但很明显这样是错的，后来我想到用线段树去维护，结果价值为负数的没判断，时刻为0的没判断，就这么少了60分.

用线段树可以拿90.

但贪心可以拿100.

我们看看如何正确地贪心：

我们可以按照时间从小到大排序，顺序枚举第i个任务，且保证每一个任务的时限必须大于k(k一开始等于0)，如果满足，我们就把第i个任务放进堆里，并把k+1，随后如果一个任务不满足，我们就与堆顶判断看看是否能替换使得答案更优.

这不需要证也可以感性地理解一定是最优的.

T10

https://jzoj.net/senior/#contest/show/2045/2

Problem

给出N个点，每个点有且只有一个被其限制的点，要求选出一个最大的点集，使得每一个集合内的点都有一个集合外的点限制它。

Data constraint

30%的数据，n<=10。
60%的数据，n<=10^5。
100%的数据，a_i<=n<=10^6。

Solution

这题考场时没什么想法，但其实用贪心的思想做并不难.

【模型转换】

我们把“限制”的关系转化成一条边，即若y会被x限制，则连一条从x到y的有向边。那么原图就会变成了若干个联通块，每个联通块必定由一个环以及若干棵“挂”在环上的树组成，即环套树。

【贪心】

现在考虑贪心。

找出所有没有入度的点，那么这些点必定不能选入集合中，我们沿着这些点上溯，将可以选进集合的点都选进集合。

选入的集合可以再继续上溯，我们发现这些点会被选中，那么其联向的点的入度必然会减1，如果为0，则又可以继续上述操作，以此类推，直到没有点可被选入“点集”中.

最后再把剩下点做一遍环处理，注意标记就好了.

经典模型

硬币问题

有1 元、5 元、10 元、50 元、100 元、500 元硬币若干枚，现在要用这些
硬币来支付A 元，求最少需要多少枚硬币？假定至少存在一种方案

解法

每个大面值硬币均为小面值硬币倍数
应尽可能多的使用大面值硬币

区间问题

给定n 个区间，每个区间左右端点分别为li,ri，现在要求选出尽量多的区
间使得它们两两不相交(不包括端点)，问最多能选出几个区间

解法

考虑把ri从小到大排序；
证明：如果第i个区间不选，选第i+1个区间，则相当于[l1,l2]这段无用.
且影响i+2更多，不可能使答案更优；

选点问题

给定n 个区间[li; ri]，取尽量少的点使得所有区间内部至少一个点

解法

将所有区间按ri 从小到大排序，ri 相同按li从大到小排序
按顺序考虑每个区间，若当前区间内没点，则在ri 处放一个点.

顺序问题

给定n 个数ai，再给出n 个数bi，现在要求你重新排列b 的顺序，使得

∑i=1nai∗bi

最小.

解法

由排序不等式可直接得出结果，即逆序和最小

字典序最小问题

给定长度为n 的字符串S，现要构造一个长度为n 的字符串T. 初始T 为
空串，随后可以从S 头部删除一个字符加到T 的尾部，或是从S 尾部删
除一个字符加到T 的尾部，求字典序最小的T

解法

由字典序比较方式知，T 越靠前的位置越小越好
操作是从前到后一位位构造T，因此每次贪心取S 头尾两个字符中字典序
较小的那个即可
若头尾字典序一样就继续比较下一位
通常字典序最小问题均是一位位贪心考虑