【动态规划/背包】整数划分的5种情况

1.将n划分成若干正整数之和的划分数（可以存在相同整数）。

转移方程如下：

dp[n][m]=dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]  dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。

理解①：

根据划分中包不包含m的情况分为2种，一种情况是划分中包含m，则剩下数的总和剩下n-m，相当于其划分数为dp[n-m][m]。另一种情况是划分中不包含m，那么其划分数为dp[n][m-1]。

代码：

        dp[0][0]=1;          for (int i=0;i<=n;i++)          {              for (int j=1;j<=n;j++)              {                  j<=i？dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]: dp[i][j]=dp[i][i];              }          }       cout<<dp[n][n];

理解②：

也可以看成完全背包问题，有1到n个背包，第i个背包的重量为i，价值为i。dp[j] 是用前 i 个数能构成 j 的种类数

代码：

dp[0] = 1;for (i = 1;i <= N;i++)  for (j = i;j <= N;j++)     dp[j] += dp[j-i];

2、将n划分成若干不同正整数之和的划分数（不可以存在相同整数）

转移方程如下：

dp[n][m]=dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1]   dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。

理解①：

根据划分中包不包含m的情况分为2种，一种情况是划分中包含m，则剩下数的总和剩下n-m，相当于其划分数为dp[n-m][m-1]。（跟1的情况的区别就在这里，因为不能重复，所以应该是m-1）另一种情况是划分中不包含m，那么其划分数为dp[n][m-1]。

代码：

dp[0][0]=1;          for (int i=0;i<=n;i++)          {                for (int j=1;j<=n;j++)                {                     j<=i?dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]: dp[i][j]=dp[i][i];                }          }  cout<<dp[n][n];

理解②：

由于每个数最多只能取1次，是经典的01背包，代码如下

代码：

 dp[0]= 1; for(i = 1;i <=n ;i++)   for(j = n;j >= i ;j--)    dp[j] += dp[j-i]; 

3、将n划分为k个数的划分数。

转移方程：

dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

理解：

根据划分中包不包含1的情况分为2种，如果不包含1，即所有数都大于等于2，我们可以取出n个1分到每一份（总共k份）上去，再将剩下的n-k个1分成k份，总共有dp[n-k][k]种分法。如果包含1，我们把那份单独的1取出来，总和就剩下n-1，数也剩下k-1个，即有dp[n-1][k-1]种分法。

代码：

for(int i=1;i<=n;i++)          for (int j=1;j<=i;j++)          {                if(j==1)                dp[i][j]=1;                else                dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1];           }  

4、将n分成最大数不超过k的划分数

       转移及思路同1，方程最后的输出为dp[n][k];如果看成背包问题，即是用前k个背包来装结果，将第一层循环改为i<=k即可。

5、将n划分为若干奇数的方法

转移方程：

 g[i][j] =f[i - j][j]；f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];g[i][j]:将i划分为j个偶数；f[i][j]:将i划分为j个奇数

思路：

对于g[i][j]= f[i- j][j],从i中拿出j个1到每一份中，则剩下的数总和为i-j也必须为奇数，i-j分成j个奇数，所以划分数为f[i-j][j]。

对于f[i][j] = f[i- 1][j - 1] + g[i - j][j]，如果不包含1，每份都大于等于2，将j个1拿出来分到每一份中，剩下的i-j必须划分为j份偶数，即g[i-j][j]。如果包含1，将那份1拿出来，剩余的i-1分成j-1个奇数，即f[i-1][j-1]。

代码：

for(int i=0;i<=n;i++)         {             dp[i][1]=1;             if(i&1)             dp[0][i]=1;          }          for (int i=1;i<=n;i++)          {              for (int j=1;j<=n;j++)              {                  if(j&1)  //相当于上面思路中的f[i][j]                {                      if(j<=i)                      dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];                      else                       dp[i][j]=dp[i][i];                  }                  else  //相当于上面思路中的g[i][j]                dp[i][j]=dp[i][j-1];              }          }  

背包思路：

因为只能是奇数，所以偶数的背包种类（i=2,4,6,8……）不符合要求，i++改为i+=2即可

代码：

dp[0] = 1;for (i = 1;i <= N;i+=2)   for (j = i;j <= N;j++)     dp[j] += dp[j-i];