大数(加、减、乘、除、低精度*大数)模板详解(C++)
来源:互联网 发布:竞拍源码 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 01:37
一、大数四个基本操作
首先,我们来了解什么是大数,大数就是指用我们平常常见的高级语言(如:c、c++)的基本数据类型的最大长度都装不下的数据,例如(1234567899876543211234567896542132165465),这些只能用字符数组(char[])或者字符串(string)来处理,大数操作最基础的四个操作就是:大数加法、大数减法、大数乘法、大数除法。下面我来详细介绍下四个基础操作的算法。
在介绍算法之前,先了解一下几个C++中 string数据类型的用法。因为string类字符元素的访问比C字符串有所增强,优点十分多,用起来很方便,所以下面我大数模板全部是基于string来作为基础数据类型。
String 优点如下(相对C)
1)string可以像C的字符串数组一样用下标来直接访问索引值对于的字符。
string str=”123456789123123” //初始化一个字符串
str[i] //返回str中索引i处字符的引用,不查是否出界
str.at(i) //返回str中索引i处字符的引用,查是否出界
2)string重载了一些运算符,特别注意当目标串较小,无法容纳新的字符串,系统会自动分配更多的空间给目标串,不必顾虑出界:
3)string字符串之间的赋值不再需要像C那样移动数组或者用strcpy()等函数辅助,string类可以直接赋值:
str1=str2; //str1成为str2的代码
str1+=str2; //str2的字符数据连接到str1的尾部
str1+str2; //返回一个字符串,它将str2和str1连接起来
4)string字符串之间的比较也不需要用strcmp()等函数来比较,可以直接用<>==
str1==str2; str1!=str2; //比较串是否相等,返回布尔值
str1<str2; str1>str2; //基于字典序的比较,返回布尔值
str1<=str2; str1>=str2;
5) string字符串还有一个标准且强大的STL库,里面提供了许多非常便利有用的辅助函数,如 str. erase ()函数(详细介绍这个,因为下面算法经常利用到)
erase函数的原型如下:
(1)string& erase ( size_tpos = 0, size_t n = npos );(常用)
作用:从下标size_t pos开始,去掉size_t n个字符
例子:str=”023543”
用法:str.erase(0,1);
结果:str=“23543”
(2)iterator erase ( iteratorposition );
作用:去掉一个下标为:position的字符
例子:str=”023543”
用法:str.erase(0);
结果:str=“23543”
(3)iterator erase ( iteratorfirst, iterator last );
作用:删除从first到last之间的字符(first和last都是迭代器)
好了,了解string到这里也差不多了。接下来就是算法分析
一、大数加法
原理:首先我们要对字符串进行初始化处理,就是给它们前面补上一个‘0’,防止有进位,如果没有进位我们最后可以用erase()函数将其删掉,然后直接对字符串进行操作,从字符串尾开始操作,往回对应相加,如果相加的结果>10,那么前一个字符就要加上当前字符的进位,当前字符就只保留结果个位数
下面是图解:
代码如下
二、大数减法
原理:减法操作和加法操作类似,首先先初始化,保持输入都是大数减小数,然后从低位开始对应相减,不够减就从借位减一。
图解:代码如下
三、大数乘法
原理:乘法的主要思想是把乘法转化为加法进行运算。
例子(12345*24)首先用相对小的大数(24)作为循环分割,4和 20,个位数4代表着4个123456相加。
12345*4=12345+12345+12345+12345
20代表着20个12345相加,也就是2个123450相加
12345*20=123450+123450
最终结果就是4个12345加上2个123450
12345*24=12345+12345+12345+12345+123450+123450
代码如下:
不明白?
我带大家走一遍Debug,看一下数据的变化
首先初始化:
循环加上4次加上12345后结果res=49380
重复,循环2次加上123450,res=296280
最终结果
四、大数除法
原理:首先想到的是运用大数减法,例如144 / 12,就是循环利用大数减法144-12,减一次就用大数加法加1,最终结束循环的条件是被减数小于减数。这个方法实现起来简单,逻辑直观,但是效率明显不够高,不信可以试一试(978973548932486564654654654654654654654564564564654532165454654 /2)
这个运用上面的方法会编译器会直接卡死。其实呢,上面的只要进行优化一下就可以AC了。怎么优化呢?
这样,首先我们可以直接将减数扩展到刚刚好比被减数少一位(用‘0’扩展,就是乘于10,例如这里刚好是扩大10倍)然后再大数相减,减一次就用大数加法加起来(这里是加10),循环操作,同样,循环结束条件也是被减数小于减数,这样可以避免循环减一个小数的尴尬。
代码:
不明白?
下面走一遍debug,看一下数据变化
测试样例(9090901 / 9)
第一步:扩展减数,在这里减数从9扩展为900000,相当于*100000
第二步:接着循环相减直至被减数小于扩展的减数即(a<tmp)结束,此时也循环大数相加加上了对应的扩展倍数就是结果(res)
由于被减数(a=90901)还是大于减数(b=9),循环继续
此时被减数(a=90901)小于扩展的除数(tmp=900000)了,需要将扩展的除数变小(这里将它缩小10倍,即tmp=90000)图如下:
然后重复第二步的操作,直至被减数小于减数即(a<b)结束。
最终结果:
二、低精度*大数:
低精度*大数例如阶乘(N!),1000!将会是一个非常大的数,用我们的基本数据类型是无法装下的,1*2*3*4*·······*10000
当然这利用我们前一小节所说的大数乘法完成该功能也可以,但是还有一种专门用来处理这种情况的方法,就是利用一个数组来保存每一位的字符。
例如:
5的阶乘在数组里面就是:
3
0
2
1
0
0
0
0
0
0
6的阶乘在数组里面就是:
3
0
2
7
0
0
0
0
0
0
7的阶乘在数组里面就是:
4
0
4
0
5
0
0
0
0
发现吗?
数组的第一个元素其实就是表示当前结果的位数,其他元素就是结果的每一位数
5!=120
6!=720
7!=5040
那其中是如何实现的呢
代码如下:
首先使用一个数组num[50000]来存储结果,将其初始化为0,num[0]=1,num[1]=1
这里设定num[1]=1是因为阶乘的原因,因为0的阶乘还是1;
文字表达水平有限,原理还是看我debug走一遍更好理解
测试样例是6的阶乘(测试样例太大不好讲解)
做好初始化工作:i=1; [结果]res=1
第一步判断num[0]此时的结果有多少位,再循环分别每位乘以i(第一轮i=1)
循环后数组没有变化
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
第二轮循环开始:i此时为2 res*2[注意,这里*2是指结果的每一位乘以2]res=2
数组变化
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
第三轮循环开始:i=3,res*3
数组变化
1
6
0
0
0
0
0
0
0
0
第四轮循环开始: i=4,res*4
注意这里出现了24,没错,就是6*4=24,24>10了,此时就要进位,向后进位,原位置保持个位数,num[0]就要加多一位了,代表这结果的位数
数组变化
2
4
2
0
0
0
0
0
0
0
第五轮循环开始: i=5,res*5
每位分别乘以5,4*5=20 2*5=10
再循环分割进位
数组变化
3
0
2
1
0
0
0
0
0
0
第六轮循环开始: i=6,res*6
同样,每一位都分别乘以6
即:0*6=0 2*6 =12 1*6=6
扫描有大于10的进行进位拆分
数组变化
3
0
2
7
0
0
0
0
0
0
结束循环
最终:模板代码如下
#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;//初始化 void initial(string &a, string &b){while (a.size()<b.size())a = '0' + a;while (b.size()<a.size())b = '0' + b;}//打印 void print(string &a, string &b){cout << a << endl;cout << b << endl;}//找出最大的字符串 void findMax(string &a, string &b){string tmp;if (a<b){tmp = b;b = a;a = tmp;}}//删除第一个字符'0' bool del(string &a){if (a[0] == '0'){a.erase(0, 1);return true;}elsereturn false;}//删除前面所有的 0 void delAllZroe(string &a){while (del(a)){del(a);};}//大数加法 string bigItergeAdd(string a, string b){initial(a, b);a = '0' + a;b = '0' + b;for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--){int num1 = a[i] - '0';int num2 = b[i] - '0';if (num1 + num2>9){a[i - 1] = a[i - 1] - '0' + 1 + '0';a[i] = (num1 + num2) - 10 + '0';}else{a[i] = (num1 + num2) + '0';}}del(a);//cout<<a<<endl;return a;}//大数减法 string bigItergeSub(string a, string b){initial(a, b);findMax(a, b);for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--){int num1 = a[i] - '0';int num2 = b[i] - '0';if (num1<num2){a[i - 1] = a[i - 1] - '0' - 1 + '0';a[i] = (num1 + 10 - num2) + '0';}else{a[i] = (num1 - num2) + '0';}}del(a);//cout<<a<<endl;return a;}//大数乘法(大数加法实现) void bigItergeMul(string a, string b){delAllZroe(a);delAllZroe(b);if (a == "" || b == ""){ printf("0\n"); return; }initial(a, b);findMax(a, b);string res = "0";int count = 0;delAllZroe(b);for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--){int num1 = b[i] - '0';if (i != b.size() - 1)a = a + '0';for (int i = 1; i <= num1; i++){res = bigItergeAdd(res, a);}}delAllZroe(res);cout << res << endl;}//大数除法 void bigItergeDiv(string a, string b){initial(a, b);if (a<b){ cout << "0" << endl;return; }delAllZroe(b);string res = "0";string restmp = "1";string tmp = b;for (int i = 1; i<(a.size() - b.size()); i++){tmp += '0';restmp += '0';}initial(a, b);while (a >= b){initial(a, tmp);if (a >= tmp){a = bigItergeSub(a, tmp);res = bigItergeAdd(res, restmp);}else{tmp.erase(tmp.size() - 1);restmp.erase(restmp.size() - 1);initial(a, tmp);if (a >= tmp){a = bigItergeSub(a, tmp);res = bigItergeAdd(res, restmp);}}initial(a, b);}cout << res << endl;}//阶乘(0~10000)【实际是低精度 乘于(*) 大数 例如:1000 *32132156465465321】 void factorial(int n){int num[50000];memset(num, 0, sizeof(num));num[0] = 1;num[1] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){int len = num[0];for (int j = 1; j <= len; j++){num[j] *= i;}for (int j = 1; j <= num[0]; j++){if (num[j]>9){num[j + 1] += num[j] / 10;num[j] %= 10;}if (num[num[0] + 1] != 0)num[0]++;}}for (int i = num[0]; i>0; i--){printf("%d", num[i]);}printf("\n");}int main(){string a, b;while (cin >> a >> b){//bigItergeAdd(a,b);//bigItergeSub(a,b);bigItergeMul(a,b);//bigItergeDiv(a, b);}//int n;//while(scanf("%d",&n)!=EOF){//factorial(n);//}return 0;}
以上的模板已经在acm.hdu.edu.cn和openjudge.cn上测试AC
大数加法
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1002
http://bailian.openjudge.cn/practice/1000/
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1047
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1313
这题在输入做了手脚,输入0,也要输出0,WA了好几次
大数减法
http://bailian.openjudge.cn/practice/2736/
大数乘法
http://bailian.openjudge.cn/practice/2980/
这道题目特坑,竟然在输入做手脚,测试样例会输入一串00000000000000
或者000000000001 * 000000000000001等等,在这上面WA了好几次
大数除法
http://bailian.openjudge.cn/practice/2737/
低精度*大数(N!)阶乘
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1042
这些都是一些非常基础的题目,一眼就看出是大数的运用,但实际运用上,大数只是作为解题的一个桥段,作为一个契机,例如前一篇文章
sicily1029Rabbit 中大OJ解题报告
http://blog.csdn.net/wjb820728252/article/details/60583288
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