堆

堆和优先队列

普通的队列是先进先出，而优先队列指的是出队顺序和入队顺序无关，和优先级相关。优先队列最广泛的应用在于操作系统，操作系统将时间周期划分为时间片，而每个时间片中只能执行一个任务，操作系统每次将动态地执行优先级最高的任务。这里有一个关键词：动态，如果队列中的任务量一定，那么我们完全可以按照优先级给它排一次序，依次执行就好了。而实际情况比这要复杂，新旧任务随着任务的执行优先级可能改变，所以我们需要一个动态的优先级队列解决方案。
优先队列应用的场景很多，举一个栗子，比如说要在1000000个数在中选出前100名，我们首先的想法就是使用快排，复杂度为nlog(n)。但是如果我们使用优先队列，我们可以将算法的复杂度降低到nlog(m)。
优先队列的主要操作有两个，入队和原来是一样的，而出队要取出优先级最高的元素。
那么我们会想到这样几个方案，第一个是使用数组，每次在末尾插入，入队的复杂度是O(1)，出队由于要遍历，复杂度是O(n)。第二个方案是使用顺序数组，维护数组的有序性，那么插入的时候由于要遍历数组，所以复杂度为O(n)，出队的时候只要直接取第一个元素，复杂度是O(1)。第三个方案是使用堆，入队和出队的复杂度都是log(n)。最极端的情况，当我们有N个元素，那么第一种和第二种方案，出队和入队情况总的是n(n+1)，第三种情况就是2nlog(n)。n平方和nlog(n)的差异是巨大的。

具体实现

说到堆的插入和删除都是log(n)，我们就会想到堆是一个树形结构。最经典的堆就是一个二叉堆binary heap。binary heap分为两种，最大堆和最小堆。最大堆有这样两种条件，一个是堆中每个节点的值不大于父节点的值(可以大于其他非父上层节点的值)，二是堆总是一个完全二叉树(除了最后一层，每层都满，最后一层节点在左侧)。最小堆则相反，堆中每个节点的值不小于父节点的值
那么我们使用一个数组来存储优先队列，相当于我们从上到下，从左到右对这个二叉树进行编号(从1开始)，这样每一个二叉数的左节点就是父节点编号的2倍(完全二叉树的作用体现了)，右节点是父节点的2n+1。所以我们要找到父节点和子节点非常容易，我们使用一个数组，索引0不存放数据，从1开始按照编号存储堆中的内容

shift up

假设我们原来堆中有10个元素，那么接下来我们要添加一个元素，首先肯定是放在数组的第11索引上。那么原来堆上所有节点都满足堆的定义，新加进来的元素如果不满足(即比父节点的元素大)，只需要和父节点交换位置，交换位置之后如果还有问题，再和向上一级的父节点交换即可

   function insert(){           //capicity为数组容量           assert(count + 1 <= capicity)       data[count + 1] = item;       count++;       shiftup(count);   }   function shiftup(k){       //注意索引k的越界问题，k=1为根节点，不需要比较       while(k > 1 && data[k] > data[k/2]){          swap(data[k], data[k/2]);       }       k = k / 2;   }

shift down

我们取出一个元素只能从根元素取，也就是索引为1的元素，这时少了一个元素怎么办，我们取出最后一个元素，放到根元素上，然后count–，之后的操作都以count为界，所以我们原本放在11位置的数可以不变。现在根元素可能不满足比子节点大的条件，所以我们需要和两个子节点进行比较，也就是和2n和2n + 1比较，如果比两者较大的大，就和较大的交换。为什么要和较大的换呢，因为较大的上位之后，正好比两个子节点大。

   //堆数组的数量大于0   assert(count > 0);   swap(data[1], data[count]);   count--;   function shiftdown(k){       //堆中至少有一个左孩子       while(2 * k <= count){          var j = 2 * k;          if(j + 1 <= count && data[j + 1] > data[j]){              j += 1;          }          //如果子孩子中较大还是比父节点大，就跳出结束          if(data[j] <= data[k])               break;          //如果想要优化的话，可以用一个变量来保存最终位置，只swap一次          swap(data[k], data[j]);          k = j;       }   }