维基百科搬运 树 (数据结构)
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树 (数据结构)[编辑]
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在计算机科学中,树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:
- 每个节点有零个或多个子节点;
- 没有父节点的节点称为根节点;
- 每一个非根节点有且只有一个父节点;
- 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;
目录
[隐藏]- 1术语
- 2树的种类
- 3存储
- 3.1父节点表示法
- 3.1.1存储结构
- 3.1.2基本操作
- 3.1.2.1构造空树
- 3.1.2.2构造树
- 3.1.2.3判断树是否为空
- 3.1.2.4获取树的深度
- 3.1.2.5获取根节点
- 3.1.2.6获取第i个节点的值
- 3.1.2.7改变节点的值
- 3.1.2.8获取节点的父节点
- 3.1.2.9获取节点的最左孩子节点
- 3.1.2.10获取节点的右兄弟节点
- 3.1.2.11输出树
- 3.1.2.12向树中插入另一棵树
- 3.1.2.13删除子树
- 3.1.2.14层序遍历树
- 3.2孩子链表表示法
- 3.2.1存储结构
- 3.1父节点表示法
- 4森林、树与二叉树的转换
- 5参考文献
术语[编辑]
- 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
- 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;
- 叶节点或终端节点:度为零的节点;
- 非终端节点或分支节点:度不为零的节点;
- 父亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
- 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
- 兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
- 节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
- 树的高度或深度:树中节点的最大层次;
- 堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
- 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
- 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
- 森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;
树的种类[编辑]
- 无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树;
- 有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树;
- 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;
- 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树;
- 满二叉树:所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
- 平衡二叉树(AVL树):当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树;
- 排序二叉树(二叉查找树(英语:Binary Search Tree),也称二叉搜索树、有序二叉树);
- 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树;
- 霍夫曼树:带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;
- B树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树,能够保持数据有序,拥有多余两个子树。
- 二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;
存储[编辑]
父节点表示法[编辑]
存储结构[编辑]
/* 树节点的定义 */#define MAX_TREE_SIZE 100typedef struct{ TElemType data; int parent; /* 父节点位置域 */} PTNode;typedef struct{ PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n; /* 节点数 */} PTree;
H
I
J
C
DF
GK
基本操作[编辑]
设已有链队列类型LinkQueue的定义及基本操作(参见队列)。
构造空树[编辑]
清空或销毁一个树也是同样的操作
void ClearTree(PTree *T){ T->n = 0;}
构造树[编辑]
void CreateTree(PTree *T){ LinkQueue q; QElemType p,qq; int i=1,j,l; char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子节点数组 */ InitQueue(&q); /* 初始化队列 */ printf("请输入根节点(字符型,空格为空): "); scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根节点序号为0,%*c吃掉回车符 */ if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */ { T->nodes[0].parent=-1; /* 根节点无父节点 */ qq.name=T->nodes[0].data; qq.num=0; EnQueue(&q,qq); /* 入队此节点 */ while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */ { DeQueue(&q,&qq); /* 节点加入队列 */ printf("请按长幼顺序输入节点%c的所有孩子: ",qq.name); gets(c); l=strlen(c); for(j=0;j<l;j++) { T->nodes[i].data=c[j]; T->nodes[i].parent=qq.num; p.name=c[j]; p.num=i; EnQueue(&q,p); /* 入队此节点 */ i++; } } if(i>MAX_TREE_SIZE) { printf("节点数超过数组容量\n"); exit(OVERFLOW); } T->n=i; } else T->n=0;}
判断树是否为空[编辑]
Status TreeEmpty(PTree *T){ /* 初始条件:树T存在。操作结果:若T为空树,则返回TRUE,否则返回FALSE */ return T->n==0;}
获取树的深度[编辑]
int TreeDepth(PTree *T){ /* 初始条件:树T存在。操作结果:返回T的深度 */ int k,m,def,max=0; for(k=0;k<T->n;++k) { def=1; /* 初始化本节点的深度 */ m=T->nodes[k].parent; while(m!=-1) { m=T->nodes[m].parent; def++; } if(max<def) max=def; } return max; /* 最大深度 */}
获取根节点[编辑]
TElemType Root(PTree *T){ /* 初始条件:树T存在。操作结果:返回T的根 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].parent<0) return T->nodes[i].data; return Nil;}
获取第i个节点的值[编辑]
TElemType Value(PTree *T,int i){ /* 初始条件:树T存在,i是树T中节点的序号。操作结果:返回第i个节点的值 */ if(i<T->n) return T->nodes[i].data; else return Nil;}
改变节点的值[编辑]
Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value){ /* 初始条件:树T存在,cur_e是树T中节点的值。操作结果:改cur_e为value */ int j; for(j=0;j<T->n;j++) { if(T->nodes[j].data==cur_e) { T->nodes[j].data=value; return OK; } } return ERROR;}
获取节点的父节点[编辑]
TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始条件:树T存在,cur_e是T中某个节点 */ /* 操作结果:若cur_e是T的非根节点,则返回它的父节点,否则函数值为"空"*/ int j; for(j=1;j<T->n;j++) /* 根节点序号为0 */ if(T->nodes[j].data==cur_e) return T->nodes[T->nodes[j].parent].data; return Nil;}
获取节点的最左孩子节点[编辑]
TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始条件:树T存在,cur_e是T中某个节点 */ /* 操作结果:若cur_e是T的非叶子节点,则返回它的最左孩子,否则返回"空"*/ int i,j; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e,其序号为i */ break; for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根据树的构造函数,孩子的序号>其父节点的序号 */ if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数,最左孩子(长子)的序号<其它孩子的序号 */ return T->nodes[j].data; return Nil;}
获取节点的右兄弟节点[编辑]
TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始条件:树T存在,cur_e是T中某个节点 */ /* 操作结果:若cur_e有右(下一个)兄弟,则返回它的右兄弟,否则返回"空"*/ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e,其序号为i */ break; if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent) /* 根据树的构造函数,若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */ return T->nodes[i+1].data; return Nil;}
输出树[编辑]
void Print(PTree *T){ /* 输出树T。加 */ int i; printf("节点个数=%d\n",T->n); printf(" 节点 父节点\n"); for(i=0;i<T->n;i++) { printf(" %c",Value(T,i)); /* 节点 */ if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父节点 */ printf(" %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父节点 */ printf("\n"); }}
向树中插入另一棵树[编辑]
Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c){ /* 初始条件:树T存在,p是T中某个节点,1≤i≤p所指节点的度+1,非空树c与T不相交 */ /* 操作结果:插入c为T中p节点的第i棵子树 */ int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标志f的初值为1,p的孩子数n的初值为0 */ PTNode t; if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */ { for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */ if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */ break; l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树,则插在j+1处 */ if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */ { for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */ if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前节点是p的孩子 */ { n++; /* 孩子数加1 */ if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子,其序号为k1 */ break; } l=k+1; /* c插在k+1处 */ } /* p的序号为j,c插在l处 */ if(l<T->n) /* 插入点l不在最后 */ for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的节点向后移c.n个位置 */ { T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>=l) T->nodes[k+c.n].parent+=c.n; } for(k=0;k<c.n;k++) { T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有节点插于此处 */ T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l; } T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根节点的父节点为p */ T->n+=c.n; /* 树T的节点数加c.n个 */ while(f) { /* 从插入点之后,将节点仍按层序排列 */ f=0; /* 交换标志置0 */ for(j=l;j<T->n-1;j++) if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent) {/* 如果节点j的父节点排在节点j+1的父节点之后(树没有按层序排列),交换两节点*/ t=T->nodes[j]; T->nodes[j]=T->nodes[j+1]; T->nodes[j+1]=t; f=1; /* 交换标志置1 */ for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变父节点序号 */ if(T->nodes[k].parent==j) T->nodes[k].parent++; /* 父节点序号改为j+1 */ else if(T->nodes[k].parent==j+1) T->nodes[k].parent--; /* 父节点序号改为j */ } } return OK; } else /* 树T不存在 */ return ERROR;}
删除子树[编辑]
Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i){ /* 初始条件:树T存在,p是T中某个节点,1≤i≤p所指节点的度 */ /* 操作结果:删除T中节点p的第i棵子树 */ int j,k,n=0; LinkQueue q; QElemType pq,qq; for(j=0;j<=T->n;j++) deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */ pq.name='a'; /* 此成员不用 */ InitQueue(&q); /* 初始化队列 */ for(j=0;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].data==p) break; /* j为节点p的序号 */ for(k=j+1;k<T->n;k++) { if(T->nodes[k].parent==j) n++; if(n==i) break; /* k为p的第i棵子树节点的序号 */ } if(k<T->n) /* p的第i棵子树节点存在 */ { n=0; pq.num=k; deleted[k]=1; /* 置删除标记 */ n++; EnQueue(&q,pq); while(!QueueEmpty(q)) { DeQueue(&q,&qq); for(j=qq.num+1;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].parent==qq.num) { pq.num=j; deleted[j]=1; /* 置删除标记 */ n++; EnQueue(&q,pq); } } for(j=0;j<T->n;j++) if(deleted[j]==1) { for(k=j+1;k<=T->n;k++) { deleted[k-1]=deleted[k]; T->nodes[k-1]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>j) T->nodes[k-1].parent--; } j--; } T->n-=n; /* n为待删除节点数 */ }}
层序遍历树[编辑]
void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType)){ /* 初始条件:二叉树T存在,Visit是对节点操作的应用函数 */ /* 操作结果:层序遍历树T,对每个节点调用函数Visit一次且仅一次 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) Visit(T->nodes[i].data); printf("\n");}
孩子链表表示法[编辑]
存储结构[编辑]
/*树的孩子链表存储表示*/typedef struct CTNode { // 孩子节点 int child; struct CTNode *next;} *ChildPtr;typedef struct { ElemType data; // 节点的数据元素 ChildPtr firstchild; // 孩子链表头指针} CTBox;typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; // 节点数和根节点的位置} CTree;
H
I
J
C
DF
GK
森林、树与二叉树的转换[编辑]
见二叉树相应章节
参考文献[编辑]
算法
计算机科学中的树
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