Maximum Subarray

Leetcode-Algorithm-Divide and Conquer-53

题目：

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.
（找出数组中和最大的连续子数组。）

例子：
给定数组[-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]，那么和最大的连续子数组是[4, -1, 2, 1]，和为6。

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题解：

方法1：（动态规划）
迭代数组中的每一个数，把它们逐一加起来。把最终结果的和设为res，迭代过程的和设为sum。令res等于第一个元素，每加一个数，可能出出现3种情况：①sum增大；当sum大于res时，由于是连续元素相加得到的sum，所以符合连续子数组最大和，因此令res等于sum；②sum减少，小于res，但sum仍大于0，保留res的取值，由于sum大于0，进入下一次迭代加上下一个元素后有可能大于res，因此跳到下一个迭代；③sum减少到小于0，无论后面加多少个元素，都会比后面元素之和要少，因此重新计算sum，令sum等于0。保留res表示之前连续元素的最大和。在每次迭代中对以上情况做相应处理，最后的res就是答案。

代码：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {    if (nums.empty()) return 0;    int res = nums[0];    int sum = 0;    for (vector<int>::size_type ix = 0; ix < nums.size(); ++ix) {        sum += nums[ix];        if (sum > res)            res = sum;        if (sum < 0)            sum = 0;    }    return res;}

分析：
由于只需迭代一次数组元素，因此时间复杂度为O(n)。

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方法2：（分治法）
首先，令连续子数组的最大和为res，那么和最大的连续子数组的位置有三种可能：
①在数组的左半部分，由于和是最大的，所有比右半部分以及中央部分元素之和要大。
②在数组的右半部分，同理，比左半部分以及中间部分元素之和要大。
③位于数组的中间部位，那么通过从数组中央元素往数组两头计算的最大和leftmax+rightmax（要求逐一相加元素），会比左右两半部分的连续子数组最大和leftres、rightres都大。
同理，当连续子数组在数组的左右两部分时，可以继续上述步骤。

代码：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {    if (nums.empty()) return 0;    return maxSubArrayHelp(nums, 0, nums.size()-1);}int maxSubArrayHelp(vector<int>& nums, int left, int right) {    if (left == right) return nums[left];    int mid = (left+right)/2;    //计算左右半部的最大和连续子数组    int leftres = maxSubArrayHelp(nums, left, mid);    int rightres = maxSubArrayHelp(nums, mid+1, right);    //计算左半部分的元素逐一相加的最大和    int sum = 0;    int leftmax = nums[mid];    for (vector<int>::size_type ix = mid; ix >= left; --ix) {        sum += nums[ix];        if (sum > leftmax) leftmax = sum;    }    //计算右半部分的元素逐一相加的最大和    sum = 0;    int rightmax = nums[mid+1];    for (vector<int>::size_type ix = mid+1; ix < right; ==ix) {        sum += nums[ix];        if (sum > rightmax) rightmax = sum;    }    return max(max(leftres, rightres), leftmax+rightmax);}

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分析：
由上述分析可知，输入规模在每次递归都减半，而且需要计算两个部分，对两部分的合并处理需要O(n)步，因此，可得下面的公式：

T(n)=2T(n/2)+O(n)

所以通过大师定理计算得时间复杂度为：

O(nlogn)