傅立葉轉換(Fourier Transform)

傅立葉轉換是一對一函數，可以是連續函數或者離散數列，正向傅立葉轉換，是把一個複雜的波，拆解成N個sin和cos組成的波，頻率從0倍到N-1倍，逆向傅立葉轉換，是把N個sin和cos組成的波，頻率從0倍到N-1倍，分別乘上強度、加上相位，再疊加成一個複雜的波。基本上任何的函式可以被無窮的sin和cos函式的加權和來表示，在影像處理上，經由傅立葉轉換將影像從空間域轉成頻率域，經過一些處理，再由反傅立葉轉換從頻率域轉回空間域。

傅立葉轉換時間複雜度為O(N²)，實務上通常使用快速傅立葉轉換(Fast Fourier Transform, FFT)，將公式的偶數項與奇數項分開整理，把時間複雜度降至O(NlogN)，因為必須剛好對半分，所以影像的長、寬都須為2的次方，當長或寬不是2的次方，可在輸入像素末端補零，使得長和寬皆為2的次方。

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以下示範將影像進行傅立葉轉換，得到頻譜，再從頻譜進行逆向傅立葉轉換，得到原始圖：

int main(){    Mat inputImg = imread("lena.jpg", CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);    Mat padded;                             int m = getOptimalDFTSize(inputImg.rows);  //m為大於等於inputImg.rows裡的最小值，且須為2、3、5的次方相乘    int n = getOptimalDFTSize(inputImg.cols);     copyMakeBorder(inputImg, padded, 0, m-inputImg.rows, 0, n-inputImg.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0)); //為了效率，所以對影像邊界拓展    Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};    Mat complexImg;    merge(planes, 2, complexImg);            dft(complexImg, complexImg);                split(complexImg, planes);                  //分離通道，planes[0]為實數部分，planes[1]為虛數部分     magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]); //planes[0] = sqrt((planes[0])^2 + (planes[1])^2    Mat magI = planes[0];    magI += Scalar::all(1);                     //magI = log(1+planes[0])    log(magI, magI);    magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));  //令邊長為偶數    //將區塊重排，讓原點在影像的中央    int cx = magI.cols/2;    int cy = magI.rows/2;    Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy));       Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy));      Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy));      Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy));     Mat tmp;                              q0.copyTo(tmp);    q3.copyTo(q0);    tmp.copyTo(q3);    q1.copyTo(tmp);                        q2.copyTo(q1);    tmp.copyTo(q2);    normalize(magI, magI, 0, 1, CV_MINMAX);     imshow("輸入圖", inputImg);        imshow("頻譜", magI);    //逆向傅立葉轉換    Mat ifft;      idft(complexImg,ifft,DFT_REAL_OUTPUT);      normalize(ifft,ifft,0,1,CV_MINMAX);      imshow("逆向求輸入圖",ifft);      waitKey();    return 0;    }

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