相机的坐标转换(2):单应性矩阵的求解

在这篇文章里我们继续上一话题，对得到的转换矩阵进行求解。

1.前文

在上篇文章里，我们最终得到如下公式：

s⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜α00−αcotθβ0u0v01⎞⎠⎟(R0TT1)⎛⎝⎜⎜⎜xwywzw1⎞⎠⎟⎟⎟

(1)
上述式子只是为了行文方便，如果要求解，我们得写成下面的样子：

s⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜α00−αcotθβ0u0v01⎞⎠⎟(r1r2r3t)⎛⎝⎜⎜⎜xwywzw1⎞⎠⎟⎟⎟

(2)

2.(u,v)与(xw,yw,zw)的求解

在张正友标定法当中，我们一般用棋盘格作为标定模板，通过图像处理上的方法我们可以得到棋盘格上的角点坐标，这样我们就得到了(u,v).

那么，我们如何得到对应的空间点坐标呢。
我们假设标定模板位于zw=0上，结合棋盘格的边长我们就可以得到相应的角点的空间位置。譬如，假设每一个小格子的大小为300*300,那么，红点1的坐标为(0,0,0),则红点2的坐标为(0,300,0),依次类推，这样我们就得到对应点的空间坐标。

3.单应性矩阵的求解

当zw=0时，公式(2)可变为：

s⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜α00−αcotθβ0u0v01⎞⎠⎟(r1r2t)⎛⎝⎜xwyw1⎞⎠⎟

(3)
用单应性矩阵的形式可表示成：

s⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜h11h21h31h12h22h32h13h23h33⎞⎠⎟⎛⎝⎜xwyw1⎞⎠⎟

(4)
作为一个单应性矩阵，H并没有看上去的那样风光，哦，我是说，尽管看起来H是一个3×3的矩阵，其实单应性矩阵的自由度只有8个。好了，划重点的时间又到了，图像平面间的单应矩阵（Homography Matrix）H，具有8个自由度。在这篇文章里，我们只具体研究图像平面间的单应性矩阵。一般而言，为了归一化，我们可以设h33=1，于是，公式4就变成了如下所示：

s⎛⎝⎜uv1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜h11h21h31h12h22h32h13h231⎞⎠⎟⎛⎝⎜xwyw1⎞⎠⎟

(4)

显然可得，

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪u=sus=h11xw+h12yw+h13h31xw+h32yw+h33v=svs=h21xw+h22yw+h23h31xw+h32yw+h33

(5)
简单地变个形，我们就可以得到：

{0=h31xwu+h32ywu+h33u−(h11xw+h12yw+h13)0=h31xwv+h32ywv+h33v−(h21xw+h22yw+h23)

(6)
但是作为一个大学生，如果只会列公式，那么我们和咸鱼，，，嗯，我是说我们和小学生有什么区别。我们要列，矩，阵。唯有如此，才能体现出我们曾上过矩阵这门课，或者说，被它上过。

[−xw0−yw0−100−xw0−yw0−1xwuxwvywuywvuv]h=0

(7)
其中，

h=[h11,h12,h13,h21,h22,h23,h31,h32]T

(8)

我们共有8个未知参数，需要四个像公式(7)这样的式子才能求解，棋盘格里的一个小格子刚好能提供四个角点，看来选棋盘格是有原因的。
我们用下角标来区别四个角点的坐标，那么我们可以用下面的式子来唯一求解：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−xw10−xw20−xw30−xw40−yw10−yw20−yw30−yw40−10−10−10−100−xw10−xw20−xw30−xw40−yw10−yw20−yw30−yw40−10−10−10−1xw1uxw1vxw2uxw2vxw3uxw3vxw4uxw4vyw1uyw1vyw2uyw2vyw3uyw3vyw4uyw4vuvuvuvuv⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢h11h12h13h21h22h23h31h32⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=0

(9)。
对应Ah=0这样的矩阵求解，我们目前的技术手段已经非常成熟了，譬如，熟读矩阵论的我们一定知道：我们可以采用SVD分解的方法来求。当然，要想结果准确，排除噪声、检测误差等因素带来的影响，还是要采取一些手段的，譬如采用最大似然的思想，采用随机抽样一致的方法等。

4下文

尽管已经可以求出单应性矩阵了，但我们的任务还没有结束。单应性矩阵里既包含相机内参也包括相机外参。相机标定的目的在于求出内参。毕竟不同张的图片都对应着不同的外参，而相机不变，则内参不变。所以，内参才是我们要追求的唯一。
关于如何求出相机内参，我们下篇再讲。
ps:单应性矩阵不仅应用在相机标定的过程中，同时也用在图像拼接的过程中。更多关于单应性矩阵求解的内容，请戳这里。