MST最小生成树 Kruskal算法

所谓最小生成树，就是在一个具有N个顶点的带权连通图G中，如果存在某个子图G’，其包含了图G中的所有顶点和一部分边，且不形成回路，并且子图G’的各边权值之和最小，则称G’为图G的最小生成树。
由定义我们可得知最小生成树的两个性质：

•最小生成树不能有回路。
•最小生成树边的个数等于顶点的个数减一。

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法等。两种算法都是贪婪算法的应用。

Kruskal算法的基本思想是将图G中的边按权值从小到大依次选取，若
选取的边使生成树不形成回路，则把它并入TE中，若形成回路则将其
舍弃，直到TE中包含N-1条边为止，此时TE为最小生成树

关键问题

如何判断欲加入的一条边是否与生成树中边构成回路？
将各顶点划分为所属集合的方法来解决，每个集合的表示一个无回路的子集。开始时边集为空，N个顶点分属N个集合，每个集合只有一个顶点，表示顶点之间互不连通。

当从边集中按顺序选取一条边时，若它的两个端点分属于不同的集合，则表明此边连通了两个不同的部分，因每个部分连通无回路，故连通后仍不会产生回路，此边保留，同时把相应两个集合合并。
这可以用并查集来完成。

过程图如下

#include<iostream>#include<vector>#include<algorithm>using namespace std;int parent[5005];struct Edge{    int a;    int b;    int value;};Edge edge[200005];int find(int index){    if(index == parent[index])        return index;    else        return parent[index] = find(parent[index]);}void join(int a,int b){    int fa = find(a),fb = find(b);    if(fa != fb)        parent[fa] = fb;}bool same(int a,int b){    int fa = find(a),fb = find(b);    return fa == fb;}bool cmp(const Edge &x,const Edge &y){    return x.value < y.value;}int main(){    int n,m,ans=0,a,b,v,e=0;    cin >> n >> m ;    for(int i=1;i<=n;i++)        parent[i] = i;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        cin >> edge[i].a >> edge[i].b >> edge[i].value;    }    sort(edge+1,edge+m+1,cmp);    for(int i=1;i<=m;i++)    {        if(!same(edge[i].a,edge[i].b))        {            join(edge[i].a,edge[i].b);            ans += edge[i].value;            e++;        }        if(e == n-1)        {            break;        }    }    if(ans == 0)//无解，不要在意orz    {        cout<<"orz";    }    else    {        cout << ans;    }}