课后练习2.4

个人做的课后练习

书籍：算法设计与分析基础(第三版）

习题2.4

一.
a. 5*n-5
b. 4*pow（3，n-1）
c. n*（n+1）/2
d. 2*n-1
e. log3（n）+1

二.
n！的阶乘
F（n）=n*F（n-1），其中F（0）=1；
递归的次数是：n次

三.
a.加法：A（n）=A（n-1）+1，其中A（1）=0；
解得 A（n）=n-1
乘法：M（n）=M（n-1）+2，其中M（1）=0；
解得 M（n）=2*（n-1）
b.运用递归和运用循环计算这个问题。其做的加法和乘法次数都是一样的。个人偏向使用循环，递归算法占用的内存比较大。

四.
a.该算法计算的是 n的平方
b.乘法：M（n）=M（n-1）+1，其中M（1）=0；
解得 M（n）=n-1
c.加减法：A（n）=A（n-1）+2，其中A（1）=0；
解得 A（n）=2*（n-1）

五.
a.（ pow(2,64)-1）/（365*24*60）
b. pow（2，i-1）+1
c. 直接用递推公式 M（n）=M（n-1）+1+M（n-1），从第一项开始计算。

Hanoi（n）    M[0]←0    for i←1 to n do         M[i]←M[i-1]+1+M[i-1]    return M[n]

六.
因为每一次都需要从B进行操作。我们可以假设把n个圆盘从A移到C中。假设把盘子移到相邻柱子所用步数为M（n）；
首先，我们把A中的n-1个盘移动到B，然后，再把B中的n-1个圆盘移动到C，然后这时候把A中剩下的一个圆盘移动到B，再把C中的n-1个圆盘移动到B，然后再从B把n-1个圆盘移动到A，把B中剩下的一个圆盘移动到C，再把A中的n-1个圆盘移动到B，再移动到C，就完成了本次的操作了。
从上述中，我们可以得出一个公式：
2*M（n）=M（n-1）+M（n-1）+1+M（n-1）+M（n-1）+1+M（n-1）+M（n-1）=6*M（n-1）+2，其中M（1）=1；
解得有：2*M（n）=pow（3，n）-1

七.
a.可以直接用数学归纳法证明
b.递推关系有：M（n）=M（n/2）+1，其中M（0）=0；

八.
a.

value(n)    if n==0        return 1;    else        return value(n-1)+value(n-1);

b. A（n）=A（n-1）+1+A（n-1），其中A（0）=0；
解得 A（n）=pow（2，n）-1；

c. 这里就不作图了…
d.不是一个好的算法，因为这是一个指数规模的算法。

九.
a. 找到数组里面最小的元素
b. 基本的操作是：比较
J（n）=J（n-1）+1；J（1）=0；
解得 J（n）=n-1

十.
O（n*n）

十一.
a. 显然可以得到递推关系有：
M（n）=n*M（n-1），其中M（2）=2，M（1）=0；
解得 M（n）=n！

b. 如果依然按照这个思路，利用循环，从二阶矩阵开始算起的话。
计算二阶矩阵： n（n-1）/2
计算三阶矩阵： n（n-1）（n-2）/2
…
计算n阶矩阵：n！/2

如果使用n的排列计算行列式：
算法就是 n的全排序，也就是n！

十二.
M（n）=M（n-1）+4*n，其中M（0）=1；
解得 M（n）=2（n+1）n

十三.
a.

time（n）    if n==1 or n==2        return 2；    else        return time（n-2）+time（2）；

时间的关系：n/2向上取整*2

b.显然时间不是最少的，因为烤三个面包所需的时间是3分钟。
c.

time（n）    if n==3        return 3；    else if n==1 or n==2        return 2；    else        return time（n-3）+time（3）；

十四. 名人问题
从题目中，我们可以知道，所有人都认识名人，而名人不认识其他人。假如，A认识B，那么，证明了A不是名人；若，A不认识B，那么证明了B不是名人。所以，每判断一次，就可以排除一个，我们只需要n-1次，就可以筛选出最后那一个可能是名人的人。最后，我们只需要检验他到底认不认识其他人，和，其他人是否都认识他，判断有无名人。显然，这里需要2*（n-1）次，总体算法的复杂度是 O（n）