样本估计中方差用m-1代替m的理解

样本估计中方差用n−1代替n的理解

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方差的定义

在概率理论和统计学上，方差的定义为

σ2=D[X]=E[(xi−μ)2]=1n∑i=1n(xi−μ),    (1)=E[x2]−E2[x]

其中，μ是变量X的均值，n为变量集X的元素总数。

样本方差的m的有偏估计

变量X比较庞大，我们就难以直接得到μ的实际值，统计学的做法是选取一个样本来估计变量X的整体情况，我们把样本的均值表示为x¯，并且以此来代替变量X的均值μ， 那么由式(1)，可以得到

σ2s=E[(xi−x¯)2]=1m∑i=1m(xi−x¯),    (2)

其中，m为样本集的元素数。

样本方差m的有偏估计的证明

直接用式(2)去估计变量的真正方差，如式(1)，是有偏差的，会偏低于总体方差，证明如下：

σ2s=E[(xi−x¯)2]=1m∑i=1m(xi−x¯)=E[1m∑i=1m(xi−x¯)]=E[1m∑i=1mx2i−2m∑i=1mxix¯+1m∑i=1mx¯2]=E[1m∑i=1mx2i−x¯2]=E[x2i]−E[x¯2]=D[x2i]+E[x2i]−(D[x¯2]+E[x¯2])=D[X]−1nD[X]=m−1mD[X].             (3)

因此，用样本的n方差估计会使得样本方差小于总体方差。

样本方差的m−1修正

为了让样本方差能更准确地表示总体方差，我们必须对样本方差n的有偏估计进行修正。修正后的样本方差估计为

σ2s=1m−1∑i=1m(xi−x¯).

m−1修正的数学证明

由式(2)和(3),我们可以直接得到

σ2=D[X]=mm−1σ2s=mm−1[1m∑i=1m(xi−x¯)]=1m−1∑i=1m(xi−x¯).

上式简单地证明了样本方差估计总体方差的m−1修正，当然也有更有说服力更科学地的数学证明，但较为深奥难懂，笔者就不叙述了。