Josephus(约瑟夫)环问题的数学方法，使用递推公式。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

 k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

 并且从k开始报0。

 

 序列1： 0, 1, 2, 3 … n-2, n-1

 序列2： 0, 1, 2, 3 … k-1, k+1, …, n-2, n-1

 序列3： k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, 1, 2, 3,…, k-2,

 序列4：0, 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2

      变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

 ∵ k=m%n;

 ∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

 ∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

 得到 x‘=(x+m)%n

       如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

 令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

 递推公式:

 f[1]=0;

 f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

     有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：(注意编号是0 -- n-1)

public class JOSEPHUS_Deep {   public static void main(String[] args) {    int n, m, i, s=0;         m=5;n=6;     for (i=2; i<=n; i++) {//因为是从两个人开始计算，所以i=2，而不是0      s=(s+m)%i;     }     System.out.println("The winner is "+(s+1));   }  }

开始我看这段文字的时候都没怎么懂，可能是数学太差的原因吧！

   后来我就一句一句来看，结合实例：0 1 2 3 4 5  m=5.

移除4过后，的状态变成了：5 0 1 2 3.     k=m%n=5

如下表

现在我们把他们的编号做一下转换：

 

k

k-5

k-4

k-3

k-2

X’

5

0

1

2

3

转换关系 ：X’=(x+k)%n（此例中：n=6）

x

0

1

2

3

4

于是呢，n个人的问题就变成了n-1个人的问题。

递推公式:

 

　　f[1]=0; //就是说如果只有一个人，那么最后的胜利者就是他，他的编号为0

 

　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1) //如果不止一个人，有i个人，那么就需要求出i-1个人的最后胜利的结果f[i-1]，然后呢，利用递推公式x‘=(x+m)%n 就可以知道第i个的最后结果了。

例如：程序中有这样两句：s=0；s=(s+m)%i;

就是说：s=0表示只有一个人的结果。

计算第2个人的结果需要用到第1个人的结果

当i=2,m=5,得到s=1,表示2个人转圈的结果

当i=3，m=5，得到s=0，表示3个人转圈的结果。

最后，由于我们选择6个人转圈编号一般习惯为1 2 3 4 5 6 ，并不是0 1 2 3 4 5 6

所以输出结果需要s+1。

我现在想不懂的是，怎么来确定第i个人的出列编号……它列出是的最后的人！

 k --> 0

 k+1 --> 1

 k+2 --> 2

 ...

 ...

 k-3 --> n-3

 k-2 --> n-2