计算机程序设计艺术一欧几里得算法
来源:互联网 发布:图像自动拼接软件 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 16:20
计算机程序设计艺术一欧几里得算法
概念
欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数.其计算原理依赖于下面的定理:
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b。假设 d 是 a, b 的一个公约数,则有 d|a, d|b,而 r = a - kb ,因此 d|r 因此 d 是(b,a mod b)的公约数,假设 d 是(b,a mod b)的公约数,则 d | b , d |r ,但是 a = kb + r,因此 d 也是 (a,b) 的公约数,因此 (a,b) 和 (b,a mod b) 的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。
书中的算法描述
给定两个正整数m和n,求它们的最大公因子,既能够同时整除m和n的最大正整数。
E1.[求余数]以n除以m并令r为所得余数。(我们将有0<= r < n)
E2.[余数为零?]若r=0,算法结束,n即为答案。
E3.[减少]置m<-n, n <- r,并返回步骤E1。
※确保m>=n这在算法中不产生任何实质性的改变,只是稍稍增加了算法的长度,却在大约一半情况下减少了
运行时间。
代码实现
1.递归实现
int gcd(int m, int n){ if (m < n) { int tmp = m; m = n; n = tmp; } if (n == 0) { return m; } else { return gcd(n,m % n); }}
2.非递归实现
int gcd1(int m,int n){ if (m < n) { int tmp = m; m = n; n = tmp; } if (n == 0) return m; while (n > 0) { int tmp = m % n; m = n; n = tmp; } return m;}
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