有关小波变换的几点解释

一.傅立叶变换的缺点

谈到小波，首先想到的一定是傅立叶变换。正是因为傅立叶变换的局限从而衍生出了小波变换。所以先看看傅立叶变换有哪些不能忍的缺点。

1.不能刻画时间域上信号的局部特性

2.不适用于非平稳信号的分解

再来讲讲为什么有这些缺点：

傅立叶变换将原函数分解成了不同频率的正弦函数（余弦函数），那正弦函数分布在整个时间域上，没有局部化能力，只能看出信号是由哪些频率的信号构成的，没有时频分析能力，无法看出这些频率分量对应的时刻。如果一个函数存在一个奇异点，那么傅立叶变换需要用很多不同频率的小幅值的正弦函数来不断逼近原函数，会产生吉布斯效应。

二.小波变换的基

什么是基，如傅立叶变换中的正弦函数就是傅立叶变换的基。小波变换为了解决傅立叶变换没有时频分析的能力，用一个有限时间分布且有衰减的信号作为基。

用这个小波做平移和伸缩变换来逼近原始信号，这样就不仅得到了原始信号的频域信息又可以得到时域信息。对于局部突变的原始信号，小波变换由于其空间分布在有限区域，可以刻画信号的局部特征。

三.小波变换的父函数、母函数和多辨尺度

任何小波变换的基函数，其实就是对母小波和父小波缩放和平移的集合。

有个很重要的函数，scalingfunction，也就是父函数，与多辨尺度息息相关。

为了方便讲解，我们考虑最简单的一种小波，哈尔小波。下面是它的一种母小波：

构建这个母函数的基（平移和缩放）：

为了符合小波基orthonormal的要求，所以我们要在前面加一个系数根号二，这样我们就得到了另一个哈尔小波的basis function：

  同理，我们可以一直这样推广下去做scale，得到4n，8n，…….下的basis function。推广来说，就是这种scaling对母小波的作用为，这是归一化后的表示形式。

平移的话也很简单，我们可以对母小波进行平移，也可以对scale之后的basis function进行平移。如果我们用ψ(n)来表示这个mother wavelet，那么这些orthonormal basis函数可以写成：

讲到这里，也只是有关父函数和母函数，并没有涉及到多辨尺度。在分析多辨尺度之前先将一个别的。

在数学定义中，有一种空间叫Lebesgue空间，对于信号处理非常重要，可以用L^p(R)表示，指的是由p次可积函数所组成的函数空间。小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。在L^2(R)空间中，我们可以找出一个嵌套的空间序列，并有下列性质：

假如有一个函数f(t)他属于一个某空间，那你将其在时域上平移，它还是属于这个空间。但如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。你要形容每一个空间的话，都需要有对应的orthonormal basis，这是必然的，那对于V0来讲，它的orthonormal basis就是：

这样，我们就可以说，由这一系列basis所定义的L^2(R)子空间V0被这些basis所span，表示成：

  这样，我们就定义了基本的V0这个子空间。这个子空间的基都是对的整数时域变换，这里我们称scaling function，所以换个说法，就是说这里整个子空间V0，由scaling function和其时域变换的函数的span。这个嵌套空间序列有一个性质，。这就是这个函数，如果你对它频域的放大或缩小，它就会相应移到下一个或者上一个空间了。对于任何一个包含V0的更上一层的空间来讲，他们的基都可以通过对scaling function做频域的scale后再做时域上的整数变换得到！

这也就意味着，对于任何属于V_j空间的函数f(t)，都可以表示为：

scaling的构建这些不同的子空间的基础，当j越大的时候，每一次你对频率变换后的scaling function所做的时域上的整数平移幅度会越小，这样在这个j子空间里面得到的f(t)表示粒度会很细，细节展现很多。反之亦然。通俗点说，就是对scaling function的变换平移给你不同的子空间，而不同的子空间给你不同的分辨率，这样就可以用不同的分辨率去看目标信号。