动态规划--2.矩阵链相乘

1.动态规划与分治法最大的区别是：所分解的子问题不是相互独立的；动态规划对每个子问题只计算一次，将其结果保存到表中，避免再次遇到子问题的情况下重复计算，是一种空间换时间的办法。

2.矩阵链相乘

（1）A1A2A3A4A5五个矩阵相乘，可以根据加括号的位置得到不同的计算过程如 A1（A2A3）A4A 5 和A1A2A3（A4A5），计算过程决定计算复杂度； 

（2）若A是p*q的矩阵，B是q*r的矩阵，那么乘积C一定是p*r的矩阵。三个矩阵A,B,C，假设规模分别为10X100, 100X5, 5X50。如果先按照((AB)C)，需要的乘法次数为：10*100*5 + 10*5*50 = 7500；如果按照(A(BC))，需要的乘法次数为：100*5*50 + 10*100*50 = 75000。可见第一种结合方法的计算速度是第二种的10倍。

3.动态规划思想：

（1）m[i,j]表示矩阵Ai到Aj之间需要的乘法次数的最小值，这里i < j且中间不会有断点，如 i=1，j=4，则表示A1*A2*A3*A4；

（2）在 i 和 j 之间的最佳分割点已经知道，它的值就是k，满足，i <= k < j；现在我们还有一个已知条件，也是唯一的一个条件：矩阵Ai的规模为Pi-1 X Pi，有一个序列 P = [P0,P1,P2,…,Pn]

（3）矩阵B=i~k的矩阵相乘，C=k+1~j的矩阵相乘，那么矩阵i~j相乘=B*C。即有m[i,j]=m[i,k]=m[k+1,j]+Pi-1PkPj ，   m[i,j] = m[i,k] +m[k+1,j] + P[i-1]*P[k]*P[j]

当i=j时表示只有一个矩阵一组m[i,j]=0;

m[i][j]表示矩阵Ai~Aj的最小相乘次数，s[i][j]表示矩阵Ai~Aj之间的最佳括号k的位置

/** *  */package matrixChain;/** * @author LingLee *矩阵链相乘问题 */public class MatrixChain {private int[] p;//矩阵维度p0~pn；private int len;//矩阵的个数，此处len=p.len-1private int[][] m;//矩阵i~j的最小计算次数private int[][] s;//矩阵k的位置public MatrixChain(int[] p,int len){this.p=p;this.len=len;m=new int[p.length ][p.length];s=new int[p.length][p.length];}public void compute(){if(p==null||len==0) return ;//int k; int min;//最小计算次数for(int i=0;i<p.length;i++) m[i][i]=0;//长度为1的矩阵链计算次数为0,0<<i<<nfor(int l=2;l<=len;l++){//l表示矩阵链长度 从2到len, len=n即n个矩阵for(int i=1;i<=p.length-l;i++){//0<<i<<pn,即n+1个元素int j=i+l-1;//m[i][j]=Integer.MAX_VALUE;for(int k=i;k<j;k++){//i~j之间最佳括号位置int q=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];if(q<m[i][j]) {m[i][j]=q;s[i][j]=k;//System.out.println("m[i,j]="+q);//System.out.println("s[i,j]="+q);}}}}}public void printM(){for(int i=0;i<m.length;i++){for(int j=0;j<m.length;j++){if(i<j&&i>0){System.out.println("m["+i+"]["+j+"]="+m[i][j]);}}}System.out.println("最优运算次数:"+m[1][m.length-1]);}public void printS(int i,int j){if(i==j) System.out.print("A"+i);else{System.out.print("(");printS(i,s[i][j]);//s[i][j]存的是k的值，此处递归打印i~k,和K+1~jprintS(s[i][j]+1,j);System.out.print(")");}}public static void main(String[] args){int p[] = { 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25 };int p1[] = { 5, 10, 3, 12, 5, 50, 6 };MatrixChain mcChain=new MatrixChain(p, p.length);mcChain.compute();mcChain.printM();mcChain.printS(1,p.length-1);}}