【概率DP】hdu 4089

注意，以下可能会多次吐槽这道题，前方高能。
另：感谢http://blog.csdn.net/morgan_xww/article/details/6920236提供的思路。

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题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4089
一道2011年北京区域赛的原题。

题目大意：
貌似是玩一个不知道什么游戏，需要登录。登录的时候需要排队，会出现以下情况。
1号情况，登录失败，但是不影响排队顺序，概率为p1，
2号情况，登录失败，且影响排队顺序，从队头直接变成队尾，概率为p2
3号情况，登录成功，进入游戏，概率为p3，
4号情况，系统崩溃，全部玩家掉线，概率为p4，
现在问你，当排队人数为n人时，你的开始位置在第m位，问，你在k位以内的时候，系统崩溃的概率是多少。

思路：
首先由上面很容易推出状态转移方程。首先我们要想清楚我们要记录的状态，当队伍人数为i人时，玩家你在j号位。
那么就有以下情况。
当在第1位时，dp[i][1] = dp[i][1] * p1 + dp[i][i] * p2 + p4
当这一次在第一位的时候，有可能发生1号情况，下次还在第一位，有可能发生2号情况，下一次掉到了最后一位，有可能下一次直接系统崩溃，当然也有可能进入游戏，但是当i个人排队，该玩家已经进入游戏了，那么他在前k系统崩溃的概率为0。所以方程如上
当在2 <= j <= k时，dp[i][j] = dp[i][j] * p1 + dp[i][j - 1] * p2 + dp[i - 1][j - 1] * p3 + p4
当在j > k时，dp[i][j] = dp[i][j] * p1 + dp[i][j - 1] * p2 + p4

然后看到这样的式子，不妨直接可以计算时间复杂度为O(n^2)，所求的概率为dp[n][m]
当然，dp[i][j]这东西，在转移的时候还在运算。。所以应该适当的化简一下
令：
p21 = p2 / (1 - p1)
p31 = p3 / (1 - p1)
p41 = p4 / (1 - p1)

那么，把等式右边的dp[i][j]化简一下
就有：
dp[i][1] = dp[i][i] * p21 + p41 (j == 1)
dp[i][j] = dp[i][j - 1] * p21 + dp[i - 1][j - 1] * p31 + p41 (2 <= j <= k)
dp[i][j] = dp[i][j - 1] * p21 + p41 (j > k)

直到这里，大家有没有一种想直接敲出来的感受呢。。。但是当我写到这的时候，我一直是瞅着题解的。因为自己dp能力菜，需要多学习。。但是，他们却说这会TLE。。难道有可以优化到O(nlogn)或者O(n)的算法？瞅了瞅他们代码，好像并不。。那时间怎么算起来都是O(n^2)。。但是就是TLE与AC的区别。。

辣么我们再来优化下吧。
当计算dp[i][j]时，dp[i - 1][j - 1]一定是一个常数，因为状态已经到不了那边了，辣么我们可不可以把dp[i][j]的第j项的常数，记成c[j]。那么方程如下：

dp[i][1] = dp[i][i] * p21 + p41 (j == 1)

dp[i][j] = dp[i][j - 1] * p21 + c[j]
c[j] = p41 + dp[i - 1][j - 1] * p31 (2 <= j <= k)

dp[i][j] = dp[i][j - 1] * p21 + c[j]
c[j] = p41 (j > k)

那是不是有：
dp[i][1] = dp[i][i] * p21 + p41
dp[i][2] = dp[i][1] * p21 + c[2]
dp[i][3] = dp[i][2] * p21 + c[3]
……
dp[i][i] = dp[i][i - 1] * p21 + c[i]
一个i元一次方程组
dp[i][1] = (dp[i][2] - c[2]) / p21
dp[i][2] = ((dp[i][3] - c[3]) / p21 - c[2]) / p21
…

一直迭代dp[i][i] * p21 ^ i
c[i] * p21 ^1,c[i - 1] * p21 ^ 2 …… c[2] * p21 ^ (i - 1) （该数求和得到temp）
pp为p21的i次方
再把这些值求和，解一下方程。得出，dp[i][i] = (temp + pp * p41) / (1 - pp * p21);
dp[i][1] = dp[i][i] * p21 + p41;

然后再把接带回原方程解出dp[i][2 -> i]
任务完成。了吗

小编我交这题，10发MLE是白来的吗。
万脸懵逼。跟楼上的那个题解一样的内存，MLE！？？？然后就开始优化，各种减少使用内存，然后发现，减少了之后，跑出来的内存更大了。。。然后还不信邪，换着编译器交，一样MLE，最终把楼上博客的代码丢进去，一起MLE。。。我的天喵喵喵？？
然后开始怀疑题目。。又换了个题解，把代码一丢进去，A了。看了看内存，噢，我比他多个数组，然后又优化了下，样例过了，然后丢上去，接着MLE，内存比原本多开个数组还要大。。。辣鸡hdu毁我一生。接着改，改到真的不知道改哪里才能把内存所小了，就开始改define部分，后来又发现pritnf那，我是%lf他是%f，他可以过。不会MLE就是这里吧，然后又跟着改，依旧MLE，途中还怀疑过，是不是return 0没写。。补上了个return 0交了一发，依旧MLE。神奇的MLE。。
最最最后，我一行一行代码对着看，终于发现了一处，可能处理不恰当会增大运行时间的，你没看错，处理不恰当会增大运行时间，而且在我看来影响也不会很大。。特判了下如果大于k就不运算了。一交AC。
（喵喵喵）^n，这可能会TLE的东西，跟MLE有半毛钱关系啊，难道TLE和MLE就是雷锋和雷锋塔的关系？这个MLE搞了接近一个钟。人生都怀疑了n次了。。

题目虽然说营养很高。但是这个MLE。。真的是让我万份懵逼。
虽然TLE真的是感觉非常不合理，但是你MLE合理之处又何在呢。
真的是。这种题。感觉吐槽100次还不够。。。

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习惯性附上小编的代码

/*@resources: hdu 4089@date: 2017-3-12@author: QuanQqqqq@algorithm: 概率dp */#include<bits/stdc++.h>#define eps 1e-10#define MAXN 2005#define zero(a) (fabs(a) < eps)using namespace std;double c[MAXN],dp[MAXN][MAXN];double p1,p2,p3,p4,p21,p31,p41,temp,pp;int n,m,k;int i,j;int main(){    while(~scanf("%d %d %d %lf %lf %lf %lf",&n,&m,&k,&p1,&p2,&p3,&p4)){        if(zero(p4)){            printf("0.00000\n");            continue;        }        p21 = p2 / (1 - p1);        p31 = p3 / (1 - p1);        p41 = p4 / (1 - p1);        dp[1][1] = p4 / (1 - p1 - p2);        for(i = 2;i <= n;i++){            for(j = 2;j <= k && j <= i;j++){                c[j] = dp[i - 1][j - 1] * p31 + p41;            }            for(j = k + 1;j <= i;j++){                c[j] = dp[i - 1][j - 1] * p31;            }            temp = 0,pp = 1;            for(j = i;j > 1;j--){                temp += pp * c[j];                pp *= p21;            }            dp[i][i] = (temp + pp * p41) / (1 - pp * p21);            dp[i][1] = dp[i][i] * p21 + p41;            for(j = 2;j < i;j++){                dp[i][j] = dp[i][j - 1] * p21 + c[j];            }        }        printf("%.5lf\n",dp[n][m]);    }    return 0;}