买不到的数目

问题描述
小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。
输入格式
两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)
输出格式
一个正整数，表示最大不能买到的糖数
样例输入1
4 7
样例输出1
17
样例输入2
3 5
样例输出2
7

解

#include<iostream>    using namespace std;    int main()    {        int a,b;        cin>>a>>b;        cout<<a*b-a-b;    }    

转载别人的证明
http://blog.csdn.net/jingqi814/article/details/21734449
证明：
1 首先证明，关于x，y的不定方程： x*a+y*b=a*b-a-b 无非负整数解
反设这个方程有解，变形一下，x*a+（y+1）*b=a*b-a ，则推出a|(y+1)*b (|是整除符号)，
那么由于（a,b）=1 ,推出， a|y+1 ，由于y+1!=0, 这样y+1>=a
带回原方程，x*a+(y+1)*b>=0*a+a*b>=ab>ab-a, 和原方程矛盾。

2 其次证明 如果n>ab-a-b ， 方程x*a+y*b=n 一定有非负整数解。
只需证明：
取l>=1 证明a*b-a-b+l =x*a+y*b 一定有非负整数解。
先考虑如下一个方程，x*a+y*b=l （l，不是1），有裴蜀定理，这个方程一定有无穷多组整数解，取出一组解，不妨设 x0*a-y0*b=l x0>=1 ,y0>=0;再使得y0满足y0<=a-1
由于所有解里面y的取值是mod a 同余的，一定可以取到0~a-1这个范围里面）

取出来了这个x0，y0以后，带回方程a*b-a-b+l =x*a+y*b ，
则 a*b-a-b+l =a*b-a-b+(x0*a-y0*b)=(a-y0-1)*b+(x0-1) *a ， a，b的系数都是非负的了，所以解找到了。

综合1，2两部 ，ab-a-b 不可以被表示，大于ab-a-b的整数通通可以被表示

证毕

变形
hdu 1792关于数论中的互质数的最大不能组合数
http://blog.sina.com.cn/s/blog_79b832820100riqp.html
题意：给定A和B，A和B互质，求最大不能组合数，和不能组合数的个数。

基础知识：
Gcd(A, B) = 1 → Lcm(A, B) = AB
剩余类，把所有整数划分成m个等价类，每个等价类由相互同余的整数组成

任何数分成m个剩余类，分别为 mk，mk+1，mk+2，……，mk+(m-1)
分别记为{0(mod m)}，{1(mod m)}……
而n的倍数肯定分布在这m个剩余类中
因为Gcd(m，n)=1，所以每个剩余类中都有一些数是n的倍数，并且是平均分配它的旁证，可见HDOJ 1222 Wolf and Rabbit
设 kmin = min{ k | nk ∈ {i (mod m)} }, i ∈ [0, m)
则 nkmin 是{i (mod m)}中n的最小倍数。特别的，nm ∈ {0 (mod m)}
nkmin 是个标志，它表明{i (mod m)}中nkmin 后面所有数，即nkmin + jm必定都能被组合出来
那也说明最大不能组合数必定小于nkmin
我们开始寻找max{ nkmin }
Lcm(m, n) = mn，所以很明显(m-1)n是最大的
因为(m-1)n是nkmin 中的最大值，所以在剩下的m-1个剩余类中，必定有比它小并且能被m和n组合，这些数就是(m-1)n -1，(m-1)n -2，……，(m-1)n -(m-1)
所以最大不能被组合数就是(m-1)n -m

如果m和n不互素，那{1 (mod m)}不能被m组合，同样也不能被n和m组合

我们能求出各个剩余类的nkmin之后，不能组合数的个数就是每个剩余类中小于各自nkmin的数的个数总和。
观察如下：
M = 5，N = 3
{0(mod 5)}：0，5，10，15……
{1(mod 5)}：1，6，11，16……
{2(mod 5)}：2，7，12，17……
{3(mod 5)}：3，8，13，18……
{4(mod 5)}：4，9，14，19……
红色的就是不能组合数，可以看出在剩余类中它的数目有规律
Total = [0+1+2] + [0+1]
因为m和n互质，必有一个不完全周期
整理以后，可得公式 Total = (n-1)*(m-1)/2