漫步数学分析三十二——可微映射的连续性

对于单变量实值函数而言，f:(a,b)→R在x0处可微，那么

limx→x0(f(x)−f(x0))=limx→x0(f(x)−f(x0)x−x0)⋅(x−x0)=f′(x0)⋅limx→x0(x−x0)=f′(x0)⋅0=0

所以limx→x0(f(x)−f(x0))=0，这就意味着f在x0处连续。

这些想法可以推广到更一般的情况：f:A⊂Rn→Rm，从而引出下面的定理。

定理3 假设A⊂Rn是开集且f:A→Rm在A上可微，那么f是连续的。事实上，对于每个x0∈A存在一个常数M>0,δ0>0使得∥x−x0∥<δ0意味着∥f(x)−f(x0)∥≤M∥x−x0∥。(这就是利普希茨(Lipschitz)性质)

前面我们讨论的都是实值函数的特殊情况，f:Rn→R，函数c:R→Rm也是重要的，这里的c表示Rm中的曲线或路径，这种情况下Dc(t):R→Rm 用向量

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜dc1dt⋅⋅⋅dcmdt⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

表示，其中c(t)=(c1(t),…,cm(t))。这个向量用c′(t)表示并称为曲线的切向量或速度向量，如果注意到c′(t)=limh→0(c(t+h)−c(t))/h并利用事实：[c(t+h)−c(t)]/h是近似曲线切线的一条弦，那么我们将看到c′(t)应该表示精确的且向量(如图1)。 用移动的质点来说的话，(c(t+h)−c(t))/h 是速度的近似，因为它是位移/时间，所以c′(t)是瞬时速度。

严格来讲我们应该讲c′(t)表示成列向量，因为矩阵Dc(t)矩阵是一个3×1矩阵。然而这样的话排版比较麻烦，所以我们以后写c′(t)时表示行向量。

例1：证明f:R→R,x↦|x|是连续的但在0处不可微。

解：对于x≥0,f(x)=x，对于x<0,f(x)=−x，所以f在(0,∞),(−∞,0)上是连续的。因为limx→0f(x)=0=f(0)，那么f在0处也是连续的，所以f在所有点处均连续。最后，f在0处不可微，因为如果可微的话，那么

limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0f(x)x

将会存在，但是当x>0时，f(x)/x为+1，当x<0时，f(x)/x为-1，从而极限不可能存在。

图1

例2：函数的导数一定连续吗？

解：答案为否，但是实例不是很明显。也许最简单的例子是

f(x)={x2sin(1x),0,x≠0x=0

如图2所示。

为了证明零处不可微，我们需要说明

当x→0时,f(x)x→0

事实上，当x→0时|f(x)/x|=|xsin(1/x)|≤|x|→0，从而f′(0)存在且是零，故f在0处可微。接下来，根据基本微积分内容

f′(x)=2xsin(1x)−cos(1x),x≠0

当x→0时第一项→0但是第二项在+1,−1之间震荡，所以limx→0f′(x)不存在，从而f′存在但是不连续。

图2

例3：令c(t)=(t2,t,sint)，找出c(t)在点c(0)=(0,0,0)处的切向量。

解：c′(t)=(2t,1,cost)，令t=0,c′(0)=(0,1,1)，即c(t)在点(0,0,0)处的切向量。