通过3点求三角形的有向面积,同时求点是否在三角形内
来源:互联网 发布:power pads软件下载 编辑:程序博客网 时间:2024/05/04 21:07
已知直角坐标系3点p(a,b),m(c,d),n(e,f) 求三角形pmn面积
解:
无论三角形的顶点位置如何,△PMN总可以用一个直角梯形(或矩形)和两个直角三角形面积的和差来表示
而在直角坐标系中,已知直角梯形和直角三角形的顶点的坐标,其面积是比较好求的。
下面以一种情形来说明这个方法,其它情形方法一样,表达式也一样(表达式最好加上绝对值,确保是正值)
如图情形(P在上方,M在左下,N在右下),过P作X轴的平行线L,作MA⊥L,NB⊥L(设P在A、B之间)
则A、B的坐标是A(c,b),B(e,b)
所以PA=a-c,PB=e-a,AM=b-d,BN=b-f,AB=e-c
所以S△PMN=S梯形AMNB-S△PAM-S△PBN
=(b-d+b-f)(e-c)/2-(b-d)(a-c)/2-(b-f)(e-a)/2
=(ad+be+cf-af-bc-de)/2
(这就是http://baike.baidu.com/view/5670.html#8中用“行列式”表示三角形面积公式的展开式,用初中方法也可以得出这个结论。上面的解法在三个顶点位置变化时,严格讲要分别讨论解答,但在知道坐标的具体值的情形下,这种解答思路不论是何种情形,都是可以直接应用的)
果园里的树
果园里的树排列成矩阵。他们的x和y的坐标均是1~99的整数。输入若干个三角形,依次统计每个三角形内部和边界上共有多少棵树。
输入:
1.5 1.5 1.5 6.8 6.8 1.5
10.7 6.9 8.5 1.5 14.5 1.5
输出:
15
17
此题用三角形有向面积来解,求有向面积2倍的函数为:
double area(double x0,double y0,double x1,double y1,double x2,double,y2)
{
return x0*y1+x2*y0+x1*y2-x0*y2-x1*y0-x2*y1;
}
若求其面积,即没有方向的:则为fabs(S)/2;
可以用行列式来记住这个式子:
|x0 y0 1|
2S=|x1 y1 1|=x0*y1+x2*y0+x1*y2-x2*y1-x0*y2-x1*y0;
|x2 y2 1|
若三角形三个点按逆时针排列,则有向面积为正,否则为负。
对一个三角形ABC和平面上任意一点O:都有Sabc=Soab+Sobc+Soca;
判断点p是否在三角形内部或者是边界上的方法是:O点分出的三个三角形按oab,obc,oca的顺序得到的结果与原来的大三角形Sabc的同号或为0。
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