【算法】斐波那契数列的效率问题

          点击这个链接：（斐波那契数列）是在数学中非常有名的一个数列形式，无论是数学界还是编程圈无不在拿它讲解递归调用的思想，数学公式如下：

                         

       现在通过编程实现“斐波那契数列”程序，通过传入的数值n，拿到第n位下斐波那契数列的值。

   正如在课本中所讲解到的，通过“递归调用”来实现该方法，代码实现可以设计为：

public Long Fibonacci(int n){if(n <= 0)return 0;if(n == 1)return 1;        //递归实现调用       return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);}

           基本上三行代码的事，就实现了这个经典的数列算法，但是如果问一句“递归”是实现这个算法的最佳策略吗？答案未必。

    如图所示，是通过递归实现“斐波那契”的原理图：

  

    由图可见，仅仅是对f(10)进行计算的原理图，而且仅仅画出了4层，就出现了相同结果的大量重复，如果计算f(100)，这种单纯的递归实现就会出现严重的性能问题。即随着n值的递增，为求出最终的f(n)，重复的项会急剧增加。用递归计算这种方法的时间复杂度是以n的指数方式递增。

    问题分析：

   （1）之所以递归调用实现“斐波那契数列”慢，是因为计算过程中大量的中间量的重复，之所以出现重复，在于从上向下计算的这个过程，计算每一个数，结合上图，都需要向下层去请求一个完整的二叉树中的值，类似高中物理中学习过的“核裂变的链式反应”，这就是问题所在。

       

    解决思路：

   （1）结合上图，采用从下向上的计算策略，即可保证相同的数不需要重复去计算，因为中间出现过的变量值，已经计算出来而且进行保存，就可以快速地拿来使用，如果查找不存在， 再去计算。即由f(0)和f(1)算出f(2)，由f(1)和f(2)算出f(3)……，最终这样下来，计算的时间复杂度为O(n)。

    优化方案：

public Long Fibonacci(int n){int result[2] = {0,1}if(n < 2)return result[n];long fibNMinusOne = 1;long fibNMinusTwo = 0;long fibN = 0;for(int i=2; i <= n; i++){fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;fibNMinusTwo = fibNMinusOne;fibNMinusOne = fibN;}return fibN;}

        如上代码所示，结合“斐波那契数列”原理图，不再是从上向下进行计算，而是从下向上计算，这样就会省略大量的中间重复的项的计算过程，也优化了通过“递归”实现计算结果的方法。

   写在最后：

   “斐波那契”实现的图形，被称为黄金比例图形，很美，如图是斐波那契螺旋线：                 

         

         That's all.