稳定匹配问题

第一个算法问题：稳定匹配

               1962年， David Gale和Lloyd Shapley两人提出一个稳定匹配问题。n个男人和n个女人匹配结婚，每个男人和每个女人都有一个自己的优先表，然后进行如下，算法最后得到一个稳定匹配。

算法的伪码描述：

      1、从男人中选出一个自由的且未向所有女人求过婚的m（其实两者限制前面即可），然后m按照他的优先表进行求婚。

      2、令w是m可选优先级最高的，然后向她求婚。如果，m目前没有男友，那么(m,w)就约会。如果m有男友m1，则比较m与m1在w得优先表上的排名进行选择。

      3、重复1、2直至所有人都已经找到了自己的伴侣。

代码如下：

    假设是7男7女的匹配问题。

   #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define NUM 7
#define IS  -1  //如果某女士w单身，IS为-1
bool oldvsnew(int lady[][NUM],int i,int j,int k){//i表示现任，j表示备选
    for(int l=0;l<NUM;l++){
        if(lady[k][l]==i)
            return false;  //不换
        else if(lady[k][l]==j)
            return true;  //换
    }




}
void pipei(queue<int>&manq,int pos,int man[][NUM],int lady[][NUM],int manc[],int mans[],int ladyi[]){
     int ladyper=man[pos][mans[pos]];
     if(ladyi[ladyper]==-1){
        ladyi[ladyper]=pos;
        manc[pos]=ladyper;
     }
     else{
        bool f=oldvsnew(lady,ladyi[ladyper],pos,ladyper);
        if(f){
            mans[ladyi[ladyper]]++;
           manq.push(ladyi[ladyper]);
           ladyi[ladyper]=pos;
           manc[pos]=ladyper;
        }
        else{
           mans[pos]++;
           manq.push(pos);
        }


     }




}
int main(){
   int man[NUM][NUM]={{6,5,3,0,4,1,2},{0,3,6,5,2,4,1},{5,4,2,0,3,1,6},{2,6,4,3,0,1,5},{3,5,4,6,0,2,1},{1,3,5,4,0,2,6},{1,6,5,3,2,0,4}};
   int lady[NUM][NUM]={{2,6,4,3,0,1,5},{3,5,4,6,0,2,1},{1,3,5,4,0,2,6},{1,6,5,3,2,0,4},{5,4,2,0,3,1,6},{6,5,3,0,4,1,2},{0,3,6,5,2,4,1}};
   int manc[NUM]={0};//记录男士的选择
   int mans[NUM]={0};//男士优先表进行到第几位
   int ladyi[NUM]={-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1};//记录是否单身
   queue<int> manq;//还处于单身的男士
   for(int i=0;i<NUM;i++)
      pipei(manq,i,man,lady,manc,mans,ladyi);
      while(!manq.empty()){
        int t=manq.front();
        manq.pop();
        pipei(manq,t,man,lady,manc,mans,ladyi);
      }
      for(int i=1;i<=NUM;i++)
        cout<<"Man"<<i<<"choose"<<manc[i-1]+1<<endl;


    return 0;
}

很容易证明其正确性。

1、女人一旦约会就不会再单身，且其选择越来越好

2、男人的选择会越来越差

3、男人单身时一定还有女人没有求过婚（反证法很容易证明）

4、算法最差会在n2时间结束（每一次匹配都会产生的配对是非递减的且最多n2）

5、算法结束后会生成完全匹配，且是稳定的（反证）

算法注意：

无论自由的男人是怎么形式的选择顺序，会产生相同的匹配。（反证）也就是说，无论是用队列还是栈等等储存自由男人结果一样。

算法对女人而言是不公平的，当然也可以从女人选择男人就是对男人不公平。