八皇后与回溯法

题目

原文：

Write an algorithm to print all ways of arranging eight queens on a chess board so that none of them share the same row, column or diagonal.

译文：

经典的八皇后问题，即在一个8*8的棋盘上放8个皇后，使得这8个皇后无法互相攻击( 任意2个皇后不能处于同一行，同一列或是对角线上)，输出所有可能的摆放情况。

解答

8皇后是个经典的问题，如果使用暴力法，每个格子都去考虑放皇后与否，一共有2⁶⁴ 种可能。所以暴力法并不是个好办法。由于皇后们是不能放在同一行的， 所以我们可以去掉“行”这个因素，即我第1次考虑把皇后放在第1行的某个位置， 第2次放的时候就不用去放在第一行了，因为这样放皇后间是可以互相攻击的。 第2次我就考虑把皇后放在第2行的某个位置，第3次我考虑把皇后放在第3行的某个位置， 这样依次去递归。每计算1行，递归一次，每次递归里面考虑8列， 即对每一行皇后有8个可能的位置可以放。找到一个与前面行的皇后都不会互相攻击的位置， 然后再递归进入下一行。找到一组可行解即可输出，然后程序回溯去找下一组可靠解。

我们用一个一维数组来表示相应行对应的列，比如c[i]=j表示， 第i行的皇后放在第j列。如果当前行是r，皇后放在哪一列呢？c[r]列。 一共有8列，所以我们要让c[r]依次取第0列，第1列，第2列……一直到第7列， 每取一次我们就去考虑，皇后放的位置会不会和前面已经放了的皇后有冲突。 怎样是有冲突呢？同行，同列，对角线。由于已经不会同行了，所以不用考虑这一点。 同列：c[r]==c[j]; 同对角线有两种可能，即主对角线方向和副对角线方向。 主对角线方向满足，行之差等于列之差：r-j==c[r]-c[j]; 副对角线方向满足， 行之差等于列之差的相反数：r-j==c[j]-c[r]。 只有满足了当前皇后和前面所有的皇后都不会互相攻击的时候，才能进入下一级递归。

代码如下：

#include <stdio.h>int c[20], n=8, cnt=0;void print(){printf("Case:%d\n",cnt);    for(int i=0; i<n; ++i){        for(int j=0; j<n; ++j){            if(j == c[i]) printf("1 ");  //打印皇后的位置，在第i+1行第j+1列。            else printf("0 ");        }        printf("\n");    }    printf("\n");}void search(int r){    if(r == n){                         //判断第八行的皇后位置是否确定，若确定则打印该种方案的皇后分布情况。        ++cnt;        print();        return;                         //退出函数，回溯。    }    for(int i=0; i<n; ++i){      //每行有八列位置可放置皇后，若八列都不可行，则会执行完此次递归函数返回到函数上一级递归。也即回溯。        c[r] = i;                       //皇后放置在第r+1行第i+1列。        int ok = 1;        for(int j=0; j<r; ++j)          //判断第1到r行的皇后与第r+1行是否冲突。            if(c[r]==c[j] || r-j==c[r]-c[j] || r-j==c[j]-c[r]){  //判断是否同列，右斜对角，左斜对角。                ok = 0;                break;            }        if(ok) search(r+1);             //如果位置不冲突，ok等于1，进行下一个皇后位置的定位。    }}int main(){    search(0);    printf("%d \n",cnt);    return 0;}