Longest Palindromic Subsequence

一. Longest Palindromic Subsequence

You are given two non-empty linked lists representing two non-negative
Given a string s, find the longest palindromic subsequence’s length in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

Example 1:

Input:
“bbbab”
Output:
4
One possible longest palindromic subsequence is “bbbb”.

Example 2:

Input:
“cbbd”
Output:
2
One possible longest palindromic subsequence is “bb”.

Difficulty:Medium

TIME：30MIN

解法

由于之前做过一道题，是求最长回文子串Longest Palindromic Substring，复杂度为O(n2)，但是解法并不适用于这道题，因为从中心扩展回文序列比扩展回文串难很多。

因此，要采用其他的解法，这里用的是动态规划。动态规划首先就是找到问题的最优子结构，而对于回文序列来说，最优子结构可采用如下方式表示：

令X=xixi+1...xj−1xj，为字符串的任意一个子串，那么该子串的最长回文序列可以表示为L[i][j]：

• 如果xi=xj，那么L[i][j]=L[i+1][j−1]+2
• 如果xi!=xj，那么L[i][j]=max(L[i][j−1],L[i+1][j])

这就是最长回文子串的最优子结构，代码如下：

int longestPalindromeSubseq(string s) {    if(s.size() == 0)        return 0;    int dp[1001][1001] = {0};    for(int i = 0; i < s.size(); i++)        dp[i][i] = 1;    /*      这里的i是指字符之间的间隔，间隔应当从1开始，也就是先把所有的长度为2的子串求得最长回文子串      当然i也可以表示位置，但要从字符串的尾部开始遍历，这样保证需要的子问题都能求得结果    */    for(int i = 1; i < s.size(); i++) {        for(int j = 0; j < s.size() - i; j++) {            if(s[j] == s[j + i])                dp[j][j + i] = dp[j + 1][j + i - 1] + 2;            else                dp[j][j + i] = max(dp[j + 1][j + i], dp[j][j + i - 1]);        }    }    return dp[0][s.size() - 1];}

代码的时间复杂度为O(n2)。

总结

动态规划最重要的就是要找到问题的最优子结构，因此必须得对问题有比较好的洞察力。首先就是要找到切分问题的方法，然后再看这样切分问题是否是最优子结构。一但找到最优子结构，那么处理问题就会方便很多。