最大子数组

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　最大连续子数组

　　问题描述：一个整数数组，数组中有正数也有负数，一个或连续的多个整数组成一个子数组，求所有子数组的和的最大值。

　　求解方法;暴力求解法、动态规划法、分治法（递归）

　　（a）     暴力求解法就是找出所有的子数组，复杂度为O(N^2)。一般不采用。

　　（b）      分治法。时间复杂度为O(nlogn)。其基本思想就是将问题分解成子问题，然后递归求解子问题，直到解决我们的问题。

　　使用分治思想，那么就要将数组分成两个规模大致相等的子数组。就是说找到数组的中点，进行划分。划分之后会发现问题：最大连续子数组位于哪儿呢？（1）左子数组（2）右子数组（3）横跨两个子数组。连续子数组必然存在于三个地方的其中一个。对于（1）（2），其实就是原问题的子问题，只是规模小了，因此剩下的就是求解跨越中点的最大子数组。

　　求解跨越两个子数组的最大子数组：从中点向着两端遍历，取左右两个子数组的最大值（注意：此处的最大值并不是真的最大值，因为加了限制条件，必须包含中点），然后相加即可。

　　（c）      动态规划法。

　　设sum[i]为以第i个元素结尾且和最大的连续子数组。假设对于元素i，所有以它前面的元素结尾的子数组的长度都已经求得，那么以第i个元素结尾且和最大的连续子数组实际上，要么是以第i-1个元素结尾且和最大的连续子数组加上这个元素，要么是只包含第i个元素，即sum[i] = max(sum[i-1]+ a[i], a[i])。（状态方程）可以通过判断sum[i-1]+ a[i]是否大于a[i]来做选择，而这实际上等价于判断sum[i-1]是否大于0。由于每次运算只需要前一次的结果，因此并不需要像普通的动态规划那样保留之前所有的计算结果，只需要保留上一次的即可，因此算法的时间和空间复杂度都很小。

package sort;import java.util.Arrays;/*求解最大连续子数组 * 使用分治思想：分解，求解，合并 * */public class LianXuZiShuZu {public static void main(String[] args){int[] arr = {13,-3,-25,20,-3,-16,-23,18,20,-7,12,-5,-22,15,-4,7};int[] result = find_Max_SubArr( arr,0,arr.length-1);System.out.println(Arrays.toString(result));//动态规划Dp(arr);}//分治思想求解public static int[] find_Max_SubArr(int[] arr,int low,int high){if(low==high){int[] result = {low,high,arr[low]};return result;}else{int mid = (int)(low+high)/2;int[] left_result = find_Max_SubArr(arr,low,mid);//左子数组，其子问题，递归调用int[] right_result = find_Max_SubArr(arr,mid+1,high);//右子数组，其子问题，递归调用int[] cross_result = find_Cross_SubArr(arr,low,mid,high);if(left_result[2]>=right_result[2]&&left_result[2]>=cross_result[2]){return left_result;}else if(right_result[2]>=left_result[2]&&right_result[2]>=cross_result[2]){return right_result;}else{return cross_result;}}}public static int[] find_Cross_SubArr(int[] arr,int low,int mid,int high){int left_sum = Integer.MIN_VALUE;int sum =0;int max_left =0;for(int i=mid;i>=low;i--){sum = sum+arr[i];if(sum>left_sum){left_sum = sum;max_left = i;}}int right_sum = 0;int max_right = 0;sum = 0;for(int j=mid+1;j<=high;j++){sum = sum+arr[j];if(sum>right_sum){right_sum = sum;max_right = j;}}int[] result = {max_left,max_right,left_sum+right_sum};return result;}//动态规划思想求解 基本思想就是：sum[i] = max(sum[i-1] + a[i], a[i])  public static void Dp(int[] arr){int curSum = 0;int sum = 0;for(int i=0;i<arr.length;i++){if(curSum<=0){curSum = arr[i];}else{curSum = curSum+arr[i];}if(curSum>sum){sum = curSum;}}System.out.println(sum);}}