124. Binary Tree Maximum Path Sum

Given a binary tree, find the maximum path sum.

For this problem, a path is defined as any sequence of nodes from some starting node to any node in the tree along the parent-child connections. The path must contain at least one node and does not need to go through the root.

For example:
Given the below binary tree,

       1      / \     2   3

Return 6.

对于这个题，貌似网上并没有太详细的解释，所以我决定写一篇比较详细的。主要参考博友喜刷刷的思路。

举个例子说明吧：

1. 假设我们现在站在根节点-2的位置上。此时有两种最大路径和的可能：

a：左子树 + -2 + 右子树

b：max（左子树， 右子树） + -2；

2. 然后我们移动到左子树-7的位置上。同样的有两种可能：

a：左子树 + -7 + 右子树 = 4 + -7 + 10 = 7

b：max（左子树， 右子树） + -7 = max（4， 10） + -7 = 3

由于1中的两种情况都需要知道左子树和右子树的值，到底要把2中的哪个数字返回给步骤1呢？答案是：3

因为如果我们返回7给步骤1，那意味着我们在-2的左子树中选择了一条“左-根-右”格式的子树，也就是这条路径变成了：(-2) - (4) - (-7) - (10)，然而-2是无法直接到达4 或者10的，就是中间出现了回路。换言之要返回给-2的，一定是“左-根”或者“根-右”的形式，这样才保证不会出现回路。

返回了(-7) - (10) 的和给-2后，还要考虑一个问题：可能刚才那个不能返回的“左-跟-右”的路径就是最大的值，因为节点可能是负数，所以用一个变量来保存对于每一个节点的“左-根-右”形式的路径和。

3. 当我们返回到根节点-2的位置的时候，左边的最大路径为（-7） - （10）= 3，右边最大路径为（3），我们开始讨论那两种情况：

a：左子树 + -2 + 右子树 = 3 + -2 + 3 = 4 即：10 - （-7） - （-2） - 3

b：max（左子树， 右子树） + -2 = max（3， 3） + -2 = 1 即：10 - （-7）-（-2） 或者 （-2）- 3

然而实际上的最大值应该是我们已经保存的4 -（-7）- 10 = 7这条路径。

注意：然而事实上答案是错的，因为节点10自己比所有路径的和都大，所以根据这个图，答案应该是10，举这个例子就是为了帮助理解，如果有小伙伴可以帮我举一个更合适的例子，感激不尽，也希望不会对大家造成误导。

到这里基本思路说完了，可能还是让大家觉得很晕，看看代码也许就明白了。请相信，我尽力了。。。

class Solution {public:    int maxPathSum(TreeNode* root) {        int maxSum = INT_MIN;        int whatever = findMax(root, maxSum);        return maxSum;    }    int findMax(TreeNode* root, int& maxSum) {        if (root == NULL) return 0;        int left = 0, right = 0;        if (root->left != NULL) {            left = findMax(root->left, maxSum);        }        if (root->right != NULL) {            right = findMax(root->right, maxSum);        }        int left_or_right_root = max(left, right) + root->val;        int left_root_right = left + root->val + right;        maxSum = max(maxSum, max(left_or_right_root, left_root_right));        return max(0, left_or_right_root);    }};