矩阵论笔记（三）——欧氏空间与正交变换

包括两种内积空间：

（1）实内积空间（欧氏空间）
（2）复内积空间（酉空间）

本节讲欧氏空间，包括四个部分：

（1）欧氏空间
（2）正交性
（3）正交变换与正交矩阵
（4）对称变换与对称矩阵

欧氏空间

欧氏空间即是实内积空间

定义：

（1）欧氏空间：实数域上的 V 定义两向量到实数的映射 (x,y)，满足交换律、分配率、齐次性、非负性，称为内积，V 称为内积空间或欧氏空间；
（2）相关定义：度量矩阵（Gram 矩阵、基两两内积），度量矩阵下 (x,y)=ξTAη，其中 ξ,η 为坐标，长度（模、范数）、单位向量、单位化/规范化），夹角 <x,y>=arccos(x,y)∥x∥∥y∥；
（3）不等式：三角不等式 ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥，∥(x,y)∥≤∥x∥∥y∥。

结论：

（1）合同：同一线性空间不同基的度量矩阵是合同的 B=CTAC。

正交性

内积为零称为成交。

• 定义：

  （1）正交性：两向量正交/垂直、零向量与任何向量正交，正交向量组，正交基、标准正交基、单位坐标向量，标准正交基的坐标可由内积表达出来 x=(x,x_1)x_1+⋯+(x,x_n)x_n，正交单位化/规范化，正交补空间（Vn 中所有与 V_1 正交的向量的集合），齐次方程组的解空间是系数向量组的正交补空间；
  （2）相关结论：
     ① x⊥y，则 ∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2；
     ② 正交向量组必线性无关；
     ③ 标准正交基的充要条件是其度量矩阵为单位阵；
     ④ 任一非零欧氏空间都有正交基和标准正交基；
     ⑤ 若 x_1,⋯,x_m 与 y 正交，则其线性组合也与 y 正交；
     ⑥ y 与 V_1 正交的充要条件是 y 与 V_1 的每个基正交；
     ⑦ Vn=V_1⊕V_1⊥，dimV_1+dimV_1⊥=n；
     ⑧ R⊥(A)=N(AT), R⊥(AT)=N(A), R(A)⊕N(AT)=ℝm, R(AT)⊕N(A)=ℝn，复数域中 AT 改成 AH 同样成立。

（证明 ⑧：R⊥(A)={y∥y⊥k_1α_1+⋯+k_nα_n} ={y∥y⊥α_j, j=1,⋯,n} ={y∥α_jTy=0}={y∥ATy=0} =N(AT)）。

• 计算：

  （1）标准正交基：① 取一组基；② Schmidt 正交化；③ 单位化。

正交变换与正交矩阵

使向量长度不变的变换，即是正交变换。

• 定义：

（1）正交变换：正交变换 (x,x)=(Tx,Tx)、充要条件为 (x,y)=(Tx,Ty)（证：用 (x−y,x−y)=(T(x−y),T(x−y))），正交矩阵（QTQ=I 或 QT=Q−1）、充要条件是其列向量为两两正交的单位向量；
（2）充要条件：T 是正交变换的充要条件是其对于标准正交基的矩阵是正交矩阵（注意，对于非标准正交基，T 的矩阵不一定是正交阵）；
（3）推论：正交矩阵非奇异；交阵的乘积、逆仍是正交阵；正交变换的乘积、逆仍是正交变换；标准正交基的过渡矩阵为正交阵。

对称变换与对称矩阵

实对称阵的特征值必是实数，且不同特征值的特征向量必正交。

• 定义：

（1）对称变换：(Tx,y)=(x,Ty)，T 是对称变换的充要条件是其对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵；
（2）相关结论：① 实对称矩阵的特征值都是实数；② 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。