强化学习读书笔记

强化学习读书笔记 - 09 - on-policy预测的近似方法

参照

• Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
• 强化学习读书笔记 - 00 - 术语和数学符号
• 强化学习读书笔记 - 01 - 强化学习的问题
• 强化学习读书笔记 - 02 - 多臂老O虎O机问题
• 强化学习读书笔记 - 03 - 有限马尔科夫决策过程
• 强化学习读书笔记 - 04 - 动态规划
• 强化学习读书笔记 - 05 - 蒙特卡洛方法(Monte Carlo Methods)
• 强化学习读书笔记 - 06~07 - 时序差分学习(Temporal-Difference Learning)
• 强化学习读书笔记 - 08 - 规划式方法和学习式方法

需要了解强化学习的数学符号，先看看这里：

• 强化学习读书笔记 - 00 - 术语和数学符号

这一章开始了第二部门 - 近似解决方案

近似方法的重要性

我们先看看传统方法中存在的问题：

• 不适用复杂的环境。主要原因是状态和行动太多，策略需要大量空间来记忆策略价值。
• 环境可能是不稳定的，过去的经验不能适用于未来的情况。需要一个通用性的方法来更新策略价值。
• 策略价值是一个数值，缺乏通用性。期望有一个通用的方法来计算策略价值。

所以对近似预测方法的理解是，找到一个通用的方法\(\hat{v}(s, \theta)\)。
数学表示
\[ \hat{v}(s, \theta) \approx v_{\pi}(s) \\ where \\ \theta \text{ - a weight vector} \\ \theta \doteq (\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n)^T \]

解释
近似预测方法是指求策略的状态价值的近似值。
求策略的行动状态价值的近似值叫做近似控制方法(Control Methods)(下一章的内容)。

近似预测方法的目标

首先，我们需要找到一个判断近似预测方法质量的计算公式。

价值均方误差（Mean Squared Value Error）
\[ MSVE(\theta) = \sum_{s \in \mathcal{S}} d(s) [v_{\pi} - \hat{v}(s, \theta)]^2 \\ where \\ d(s) \text{ - on-policy distribution, the fraction of time spent in s under the target policy } \pi \\ \]

• 在情节性任务中
  \[ \eta(s) = h(s) + \sum_{\bar{s}} \eta(\bar{s}) \sum_{a} \pi(a|\bar{s})p(s|\bar{s}, a), \ \forall s \in \mathcal{S} \\ d(s) = \frac{\eta(s)}{\sum_{s'} \eta(s')} \\ where \\ \eta(s) \text{ - the number of time steps spent in state s in a single episode} \\ h(s) \text{ - time spent in a state s if episodes start in it} \]

• 在连续性任务中
  \[ d(s) = \text{ the stationary distribution under } \pi \\ \]

解释：
\(\eta(s) = h(s) + \sum_{\bar{s}} \eta(\bar{s}) \sum_{a} \pi(a|\bar{s})p(s|\bar{s}, a), \ \forall s \in \mathcal{S}\)
状态s的发生时间（次数） = 在情节中状态s发生在开始的时间（次数） + 状态s发生在其它的时间（次数）

随机梯度递减方法（Stochastic gradient descend method）

那么如何求\(\theta\)呢？一个常见的方法是通过梯度递减的方法，迭代的求解\(\theta\)。

随机梯度递减算法

Stochastic gradient descend
\[ \begin{align} \theta_{t+1} & \doteq \theta_{t} - \frac{1}{2} \alpha \nabla [v_{\pi}(S_t) - \hat{v}(S_t, \theta_t)]^2 \\ & = \theta_{t} + \alpha [v_{\pi}(S_t) - \hat{v}(S_t, \theta_t)] \nabla \hat{v}(S_t, \theta_t) \\ \end{align} \\ where \\ \nabla f(\theta) \doteq \left ( \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_1}, \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_2}, \cdots, \frac{\partial f(\theta)}{\partial \theta_n} \right )^T \\ \alpha \text{ - the step size, learning rate} \]

解释
这个方法可以在多次迭代后，让\(\theta\)最优。
\([v_{\pi}(S_t)\)是实际值。
\(\hat{v}(S_t, \theta_t)\)是当前计算值。
随机梯度递减方法通过误差（实际值 - 当前计算值）接近最优值的方法。
比较麻烦的是：如何求\(\nabla \hat{v}(S_t, \theta_t)\)。
传统的方法是求\(v_{\pi}(s), q_{\pi}(s, a)\)，在近似方法中变成了求\(\theta, \hat{v}(s, \theta), \hat{q}(s, a,\theta)\)。

蒙特卡洛

• 算法描述

  Input: the policy \(\pi\) to be evaluated
  Input: a differentiable function \(\hat{v} : \mathcal{S} \times \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}\)

  Initialize value-function weights \(\theta\) arbitrarily (e.g.\(\theta = 0\))
  Repeat (for each episode):
    Generate an episode \(S_0, A_0, R_1 ,S_1 ,A_1 ,cdots ,R_T ,S_T\) using\(\pi\)
    For \(t = 0, 1, cdots, T - 1\)
     \(\theta \gets \theta + \alpha [G_t -\hat{v}(S_t, \theta)] \nabla \hat{v}(S_t, \theta)\)

半梯度递减方法（Semi-gradient method）

之所以叫半梯度递减的原因是TD(0)和n-steps TD计算价值的公式不是精确的（而蒙特卡罗方法是精确的）。

半梯度下降(Semi-gradient TD(0))

• 算法描述

  Input: the policy \(\pi\) to be evaluated
  Input: a differentiable function \(\hat{v} : S^+ \times \mathbb{R^n} \to \mathbb{R}\) such that\(\hat{v}(terminal, \dot \ ) = 0\)

  Initialize value-function weights \(\theta\) arbitrarily (e.g.\(\theta = 0\))
  Repeat (for each episode):
    Initialize \(\mathcal{S}\)
    Repeat (for each step of episode):
     Choose $A \sim \pi(\dot \ |S) $
     Take action \(A\), observe \(R, S'\)
     \(\theta \gets \theta + \alpha [R + \gamma \hat{v}(S', \theta) -\hat{v}(S', \theta)] \nabla \hat{v}(S, \theta)\)
     \(S \gets S'\)
    Until \(S'\) is terminal

n-steps TD

请看原书，不做拗述。

特征选择

线性方程的定义

\[ \phi(s) \doteq (\phi_1(s), \phi_2(s), \dots, \phi_n(s))^T \\ \hat{v} \doteq \theta^T \phi(s) \doteq \sum_{i=1}^n \theta_i \phi_i(s) \]
\(\phi(s)\) 为特征函数。
这里讨论特征函数的通用化定义方法。

多项式基(polynomials basis)

\(s\)的每一个维度都可以看成一个特征。多项式基的方法是使用\(s\)的高维多项式作为新的特征。
比如：二维的\(s = (s_1, s_2)\)，可以选择多项式为\((1, s_1, s_2, s_1s_2)\)或者\((1, s_1, s_2, s_1s_2, s_1^2, s_2^2, s_1s_2^2, s_1^2s_2, s_1^2s_2^2)\)

多项式基方法的通用数学表达：
\[ \phi_i(s) = \prod_{j=1}^d s_j^{C_{i,j}} \\ where \\ s = (s_1,s_2,\cdots,s_d)^T \\ \phi_i(s) \text{ - polynomials basis function} \]

傅里叶基(Fourier basis)

傅里叶基方法的通用数学表达：
\[ \phi_i(s) = \cos(\pi c^i \dot s), \ s \in [0,1)] \\ where \\ c^i = (x_1^i, c_2^i, \cdots, c_d^i)^T, \ with \ c_j^i \in \{0, \cdots, N\} \ for \ j = 1, \cdots, d \ and \ i = 0, \cdots, (N + 1)^d \]

径向基(Radial Basis)

径向基方法的通用数学表达：
\[ \phi_i(s) \doteq exp \left ( - \frac{\lVert s-c_i \rVert ^2 }{2 \sigma_i^2} \right ) \]

最小二乘法TD(Least-Squares TD)

Input: feature representation \(\phi(s) \in \mathbb{R}^n, \forall s \in \mathcal{S}, \phi(terminal) \doteq 0\)

$\hat{A^{-1}} \gets \epsilon^{-1} I \qquad \text{An } n \times n \ matrix $
\(\hat{b} \gets 0\)
Repeat (for each episode):
  Initialize S; obtain corresponding \(\phi\)
  Repeat (for each step of episode):
   Choose \(A \sim \pi(\dot \ | S)\)
   Take action \(A\), observer \(R, S'\); obtain corresponding \(\phi'\)
   \(v \gets \hat{A^{-1}}^T (\phi - \gamma \phi')\)
   \(\hat{A^{-1}} \gets \hat{A^{-1}} - (\hat{A^{-1}}\phi) v^T / (1+v^T\phi)\)
   \(\hat{b} \gets \hat{b} + R \phi\)
   \(\theta \gets \hat{A^{-1}} \hat{b}\)
   \(S \gets S'; \phi \gets \phi'\)
  until S' is terminal