(六)数组和矩阵及其存储

1.数组的概念和存储：

1.1.基本概念：

        1.可以将数组看成是线性表的推广。

1.2.数组的性质：

        1.数组元素固定；

        2.数组中每个元素数据类型相同；      

        3.数组中每个元素都有唯一的下标与之对应；

        4.数组是一种随机存储结构；

1.3.数组的存储结构：

        1.对于一个一维数组，每个数据占用k个存储单元，第一个数组元素a0的地址Loc(a0)确定，则一维数组中任一数组元素ai的存储地址Loc(ai)为：Loc(ai)=Loc(a0)+i*k;

        2.对于一个二维数组，也可以降至一维数组进行操作，有以主序为行的和以列为主序的两种存储方式，假设有m行n列的二维数组，则计算存储地址的方式对应如下：

        ①以行为主序，即行先变化：Loc(ai,j)=Loc((a0,0)+(i*n+j)*k;

        ②以列为主序，即列先变化：Loc(ai,j)=Loc((a0,0)+(j*m+i)*k;

        以上两式均是以行列下标为0开始，若以c1、c2分别表示行、列的下界，d1、d2分别表示行、列的上界，

则有以下关系：

        ④以行为主序，即行先变化：Loc(ai,j)=Loc((ac1,c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+(j-c2)]*k;

        ⑤以列为主序，即列先变化：Loc(ai,j)=Loc((ac1,c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+(i-c1)]*k;

2.特殊矩阵的压缩存储：

特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定的规律的矩阵。为了节省存储空间，需要进行压缩存储，主要形式有对称矩阵、三角矩阵和对角矩阵；

2.1.对称矩阵：

        1.在一个n阶方阵中A中，若ai,j=aj,i(0<=i,j<n);则称A为n阶对称矩阵；

        2.由于对称矩阵中元素关于主对角线对称，因此存储时只需要存储矩阵中的上三角元素或者下三角元素即可，这样就可以将n*n个元素存储在n*(n+1)/2个元素的空间中了。

        3.存储时一般以行为主序进行存储，其存储的下标为0~n(n+1)/2 - 1;

        4.存储位置的计算

        ①对于对称矩阵A的下三角元素而言：若Ai,j前面共有i行，(行的下标为0~i-1)，则：行下标为0的元素有1个，行下标为1的元素有两个，。。。,行下标为i的元素有i+1个。因此i行所有的元素为：1+2+...+(i+1)=i(i+1)/2,对应存储的下标为：i(i+1)/2 - 1；在加上Ai,j元素第i行的前j个元素，因此对称矩阵A下三角中任意元素Ai,j存储于一维数组的存储位置为：k=i(i+1)/2+j;

        ②由于上三角元素Ai,j等会下三角元素Aj,i，因此互换j和i就能得到上三角元素在一个一维数组中的存储位置：k=j(j+1)/2+i;

        ③综上所述，对称矩阵存储在一维数组时的存储位置为：k=i(i+1)/2+j，i>=j时；k=j(j+1)/2+i，i<j时;

2.2.三角矩阵：

        1.以主对角线来划分，三角矩阵分为上三角矩阵和下三角矩阵。上三角矩阵是指矩阵的下三角（不包括主对角线）中的元素全为一个常数或0；下三角矩阵反之；

        2.这样一来，使用一维数组进行存储时，只需将非零元素进行存储，再加上一个常数即可。即将n*n个元素存储在n*(n+1)/2+1个单元中。   

        3.结合对称矩阵和三角矩阵的特性，可以得到三角矩阵的存储位置：

        ①下三角矩阵：k=i(i+1)/2+j，i>=j时；k=n(n+1)/2，i<j时;

        在求上三角矩阵时，可以进行推导：假如有Ai,j,那么它前面共有i行元素，行下标为0的有n个，行下标为1的有n-1个，。。。，行下标为i-1的有n-(i-1)个，因此，i行之前共有元素为：n+(n-1)+...+n-(i-1)个，再加上i行中在Ai,j前面还有j-i个元素，因此得到下列式子；

        ②上三角矩阵：k=i(2n-1+i)/2+j-i;i>=j时；k=n(n+1)/2，i<j时;

2.3.对角矩阵(带状矩阵)：

        1.对角矩阵的所有非零元素都集中在主对角线为中心的带状区域内，最常见的有三对角带状矩阵，下面主要以三对角带状矩阵讨论；

        2.存储方法：将带状矩阵的非零元素按行存储在一维数组中，其中，除了第一行和最后一行为2个元素外，其余行均为3个元素，因此所存储的元素个数有：2+2+3*(n-2)个；存储位置K和元素下标之间的关系为：

        ①主对角线上的元素，下标具有i=j的关系，此时k=3*i;(i=j时)；

        ②主对角线上左下角的元素，下标具有i=j+1的关系，此时k=3*i-1;(i=j+1时)；

        ③主对角线上右上角的元素，下标具有i=j-1的关系，此时k=3*i+1;(i=j-1时)；

        综合三种情况，可得三对角带状矩阵的存储位置K和下标i,j的关系为：k=2i+j(0<=i,j<n且i-1<=j<=i+i);

3.稀疏矩阵

        稀疏矩阵不是特殊的矩阵，它是含有少量的非零元素和较多的零元素，并且非零元素的分布没有规律，这样的矩阵称为稀疏矩阵；

3.1.稀疏矩阵的三元组表示：

        1.对于一个m*n的稀疏矩阵，它的非零元素个数t<m*n,如果采用常规存储方式，肯定会造成很大浪费，因此稀疏矩阵的存储必须采用压缩存储方式；

        2.由于稀疏矩阵毫无规律，因此除了要存储矩阵中的元素外，还要存储具体位置，这时使用一个三元组（i，j，Ai,j）来表示，分别代表元素的行下标、列下标和元素值，而且一般将矩阵m*n的行数、列数、元素个数存放在三元组表的第一个位置；

3.2.三元组的存储：

        1.一般来说，三元组的存储是以行为主序的，三元组表的顺序存储结构定义如下：

#define MAXSIZE 100 typedef struct{    int i;//行号     int j;//列号     int v;//元素的值 }TNode;//三元组类型 typedef struct{    int m;//稀疏矩阵的行数     int n;//稀疏矩阵的列数     int t;//稀疏矩阵的非零元素个数     TNode data[MAXSIZE];//三元组表 }TSMatrix; //三元组表类型 

        以上这种定义方式，稀疏矩阵的行数、列数和元素个数并没有在三元组表中，而是专门设置了3个域；

        2.三元组表的建立：

        假设一个m*n的稀疏矩阵存储在二维数组中，则建立三元表进行存储的方法如下：

//参数分别表示：指向三元组表的指针，指向存储稀疏矩阵的二维数组的二级指针， // 矩阵行数，矩阵列数 void createMatrix(TSMatrix *p,int **a,int m,int n){    int i,j;    p->m=m;    p->n=n;    p->t=0;    for(i=0;i<m;i++){        for(j=0;j<n;j++){            if(a[i][j]!=0){                p->data[p->t].i=i;                p->data[p->t].j=j;                p->data[p->t].v=a[i][j];                p->t++;             }        }    }}

3.3.矩阵的转置：

        1.对于一个m*n的矩阵A，它的转置矩阵为n*m的矩阵B，则有：Ai,j=Bj,i(0<=i<m,0<=j<n);

        2.转置有两种方法：按列序递增转置法和快速转置法；

3.3.1.按列序递增转置法：由于转置后行和列进行了交换，因此以列为主序进行查找，然后将查到的非零元素的i和j交换放入转置后的三元表中，查找完毕，即完成转置；算法实现如下：

void revert(TSMatrix *a,TSMatrix *b){    int k,p,q;    b->n=a->m;    b->m=a->n;    b->t=a->t;    if(b->t!=0){        q=0;        for(k=0;k<a->n;k++){//控制列数             for(p=0;p<a->t;p++){//在三元组表中进行查找                 if(a->data[p].j==k){//三元组表中存在j=k的元素                     b->data[q].i=a->data[p].j;                     b->data[q].j=a->data[p].i;                     b->data[q].v=a->data[p].v;                     q++;                }            }        }        }    }

3.3.2.快速转置法：

        1.按列序递增转置法由于存在双重循环，因此效率不高。

        2.快速转置法基本思想：在三元组表a中依次取出每个三元组，并准确放入三元组表b中。使用快速转置法需要预先计算以下数据：

        ①三元组表a中的每一列中非零元素的个数；

        ②三元组表a中每一列的第一个非零元素在表b中的位置；

        3.步骤(以a表表示原矩阵三元组表，b表表示转置后的三元组表)：

        ①首先，规定三元组表a中每一列k在三元组表b中的位置假设为pot[k],则有：

        pot[0]=0；(因为a中第0列第一个非零元素转置后也是第0行)；    

        pot[k]=pot[k-1]+第k-1列中元素的个数。

        ②第二，求各列非零元素的个数，并存在pot数组中：第k-1列中元素的个数可以存放在一个数组中，但为了节省内存，继续存放在pot[]数组中，则会有：

        pot[0]继续存放第0列第一个非零元素的位置，即pot[]=0;pot[1]~pot[n]存放0~n-1列的非零元素的个数；

        ③第三，求每一列第一个元素在b中对应的位置：由① ②两式可得，k列第一个非零元素对应b表中的位置为：

         pot[k]=pot[k-1]+ pot[k];

         赋值号左边的pot[k]表示k列第一个非零元素对应b表中的位置，赋值号右边的pot[k]表示第k-1列中非零元素的个数；具体如下图所示：

        4.算法实现：

void revert_Matrix(TSMatrix *a,TSMatrix *b){    int i,j,k,m,pot[MAXSIZE];    b->m=a->n;    b->n=a->m;    b->t=a->t;    if(b->t!=0){        //初始化pot数组，此时k取值能取到a->n,因为pot[0]保存第0列第一个非0元素,pot[1]~pot[a->n]保存0~a->n-1列的元素个数         for(k=0;k<=a->n;k++){            pot[k]=0;        }        //求元素个数,pot[0]保存第0列第一个非0元素，pot[1]~pot[a->n]保存0~a->n-1列的元素个数         for(i=0;i<a->n;i++){            k=a->data[i].j;             pot[k+1]=pot[k+1]+1;        }        //求各列第一个非零元素的位置         for(k=1;k<a->n;k++){            //左边的pot[k]表示第k列的位置，右边的pot[k]表示第k-1列的元素个数；            //pot[k-1]表示已经算好的位置；             pot[k]=pot[k-1]+pot[k];        }        for(i=0;i<a->t;i++){            k=a->data[i].j;            b->data[pot[k]].i=a->data[i].j;            b->data[pot[k]].j=a->data[i].i;            b->data[pot[k]].v=a->data[i].v;            pot[k]=pot[k]+1;//存放第k列的下一个三元组         }     } }