Tarjan算法详解

Tarjan算法的用途
1.求桥和割点
2.求点和边的双连通分量
3.求强连通
Targan算法的流程
利用dfs来遍历图来构建一种数型的结构
Tarjan算法的两个核心数组
dfn：我们用dfn数组记录
low：我们用low[i]表示一个节点的子树中可以到达最小的dfn
（显然对于一个刚刚遍历到的点我们给他赋上一个新的dfn，low）

<1>对于第一种用途
Tarjan算法原理

我们从1开始遍历，发现6,5,4的low不小于dfn[3]，故3为割点（即4,5,6都无法到达3以上的点）

我们发现对于边(2,5)low[5]大于dfn[2]即5的子树中的任何点无论如何都无法通过其他方式到2以上的点
于是我们得到了一个桥。

例题：给出一张连通的无向图G，求出至少加入多少条边才能使得图G是一个边双连通的。

即求边双连通分量把度为一的节点数x （x+1）/2即为答案
注意：求边双连通分量时low相同的即为同一组

const int M=10005;bool map[M][M],vis[M];  int low[M],dfn[M],cnt[M],num,n,m;void init(){    Mt(vis);Mt(map);Mt(low);    Mt(dfn);Mt(cnt);num=0;}void dfs(int x,int f){    dfn[x]=low[x]=++num;    for(int i=1;i<=n;i++){        if(i!=f&&map[x][i])            if(!dfn[i]){                dfs(i,x);                Min(low[x],low[i]);            }else Min(low[x],dfn[i]);    }}int main(){    scanf("%d %d",&n,&m);    while(m--){        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        map[x][y]=map[y][x]=1;    }dfs(1,0);    int ans=0;    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)            if(map[i][j])                if(low[i]!=low[j])//注意：求边双连通分量时low相同的即为同一组                 cnt[low[j]]++;    for(int i=1;i<=n;i++)        if(cnt[i]==1)ans++;    printf("%d",(ans+1)/2);    return 0;}

例题：
给出一个无向图，你可以在一些点设置一些出口，使得删去任意一个点之后，其他所有的点都至少与一个出口连通，求在出口数量最小情况下的放置出口的方案。

即求点双连通分量中割点的数量

我们可以用dfs双连通分量求。因为每个割点一定是双连通分量中重复部分

void tarjan(int x,int f){    dfn[x]=low[x]=++num;    for(int i=h[x];i;i=nx[i]){        int y=g[i];        if(y==f)continue;        if(!dfn[y]){            dfs(y,x);            Min(low[x],low[y]);            if(dfn[x]<=low[y]){                if(!f)deg++;                else cut[x]=1;            }        }    }}void dfs(int x){    vis[x]=T;    if(cut[x])return;    Cnt++;    for(int i=h[i];i;i=nx[i]){        int y=g[i];        if(cut[y]&&vis[y]!=T)Cut++,vis[y]=T;        else if(!vis[y])dfs(y);    }}int main(){    int n=0,m,a,b;    scanf("%d",&m);    while(m--){        scanf("%d %d",&a,&b);        Max(n,a);        Max(n,b);        Add(a,b);        Add(b,a);    }    for(int i=1;i<=n;i++){        if(!dfn[i]){            deg=0;            tarjan(i,0);            if(deg>1)cut[i]=1;        }    }    for(int i=1;i<=n;i++){        if(!cut[x]&&!vis[x]){            Cnt=Cut=0;            T++;            dfs(i);            if(Cut==1)ans1++,ans2*=Cnt;            if(!Cut)ans1+=2,ans2*=Cnt*(Cnt-1);        }    }printf("%d %d",ans1,ans2);}

tip：tarjan缩点

void tarjan(int x,int f=0){    dfn[x]=low[x]=++Dfn;    stk[++top]=x;    for(int i=0;i<G[x].size();i++){        int y=G[x][i];        if(y==f)continue;        if(dfn[y])Min(low[x],dfn[y]);        else{            tarjan(y,x);            Min(low[x],low[y]);            if(low[y]>dfn[x]){                /*如果不是和x同一块就开始缩点*/                ++tree;                while(low[stk[top]]>dfn[x])T[stk[top--]]=tree;            }        }    }}