ECC加密算法

关键词：

ECC：Elliptic Curve Cryptography (ECC)

基于离散对数的椭圆曲线密码系统提供与RSA类似的安全性，但是具有相对较短的密钥大小。

GF(p) 上的椭圆曲线

素数 p > 3，并且 a,b ∈ GF(p)，在 GF(p) 上使得4a³+ 27b² ≠ 0 。

在GF(p)上，带参数a和b的椭圆曲线 E 被定义为（x，y）的解集，其中 x, y ∈ GF(p) 满足如下方程：

                                                         y²= x³ + ax + b

以及一个额外的点 O 。点的集合 E 形成一个组，并遵守以下规则： 

• O + O = O
• (x, y) + O = (x,y)
• (x, y) + (x, -y) = O
• 两个不相等的点相加，x₁, ≠ x₂：

                            (x₁, y₁) + (x₂, y₂)= (x₃, y₃)

                            λ = (y₂ - y₁) (x₂- x₁)^-1

                            x₃ = λ² - x₁-x₂

                            y₃= λ(x₁- x₃) - y₁

• 一个点的2倍，x₁, ≠ 0 ：

                     (x₁, y₁) + (x₁, y₁)= (x₃, y₃)

                     λ = (3x₁² + a) (2y₁)^-1

                     x₃ = λ² - 2x₁

                     y₃ = λ(x₁ - x₃) - y₁

集合 E 是 满足：y² mod p = (x³ + ax + b) mod p

例子：

假设 a = 1, b = 1, p = 23，则椭圆曲线 E23(1, 1) 上的点如下：

（0，1）（6，4）（12，19）（0，22）（6，19）（13，7）（1，7）（7，11）（13，16）（1，16）（7，12）（17，3）（3，10）（9，7）（17，20）（3，13）（9，16）（18，3）（4，0）（11，3）（18，20）（5，4）（11，20）（19，5）（5，19）（12，4）（19，18）

如下是计算过程，以及散点图：

GF(2^k) 上的椭圆曲线

最后：

考虑方程 Q = kP，其中Q, P ∈ E_p(a, b) 且 k < p 。

对于给定的 k 和 P 计算 Q 比较容易，而对给定的 Q 和 P 计算 k 则比较困难。这就是椭圆曲线的离散对数问题。