【Hackerrank World9】【JZOJ5020】Box Operations 题解

题目大意

      给出一个长度为 n 的序列。
      有 4 种操作：
      1 l r c：给 a[l]~a[r] 加上 c；（c 可为负）
      2 l r d：给 a[l]~a[r] 除以 d 下取整；（⌊−0.5⌋=1）
      3 l r：求 a[l]~a[r] 的最小值；
      4 l r：求 a[l]~a[r] 的和。

      n, q<=1e5
      |a|<=1e9， |c|<=1e4， 2<=d<=1e9

题解

      这题的关键就是如何用线段树维护区间除法。

      首先，一个数除 log 次，就会变成 0（或者 -1）。所以我们在不断地做除法的过程中，会有很多可以同时操作的连续段。

      （想到这里之后我在考场上是这样做的：对于一个区间，如果他们除出来都是相同的，就打上除法标记，否则递归下去。然后发现除法标记瞬间爆 longlong……然后我就设个阈值，除法标记达到阈值之后强制下传，然后发现阈值居然要小于100……就狗带了）

      为了不打除法标记，我们这样操作：
      对于当前要做除法的区间 [l, r]：设区间最小值为 x，最大值为 y，要除以 z，若 x−⌊xz⌋=y−⌊yz⌋（即差量相同），那么直接给这个区间打上减法标记，否则递归下去。

      时间分析：
      对于加法操作：每次最多增加 2 个颜色段，所以总的颜色段最多是 3n。
      对于除法操作：相邻的两个颜色段最多 2log 次操作就合并了。
      所以总的操作次数是 O(n log n)，加上线段树就是 O(n log2 n)

      （也可以用势能分析：由于相邻的两个颜色段最多 O(log) 次操作就合并，所以我们把一个颜色段拆成 log 份来看，设势函数 Φ 表示当前这些颜色段的数量。一次加法操作就会使势差加 2log，实际用时视为 1；一次除法操作假设遍历了 x 个区间，那么势差减 x，实际用时也是 x。因此估价函数最后算出来是 O(n log n)，加上线段树就是 O(n log2 n)）

相关题

      UOJ#228 基础数据结构练习题
      此题是区间开方运算，跟区间除法的思路是一样的。

代码

#include<cstdio>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=1e5+5;struct TR{    LL nmin,nmax,sum,len;};int n,a[maxn];int ReadInt(){    char ch=getchar();    int data=0, tag=1;    while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();    do{        if (ch=='-') tag=-1; else data=data*10+ch-'0';        ch=getchar();    } while (ch>='0' && ch<='9' || ch=='-');    return data*tag;}LL DIV(LL x,LL y) {return x/y-(x<0 && x%y!=0);}TR tr[4*maxn];LL bz[4*maxn];void update(int k,int ls,int rs){    if (bz[k]==0) return;    tr[ls].nmin+=bz[k];    tr[ls].nmax+=bz[k];    tr[ls].sum+=bz[k]*tr[ls].len;    bz[ls]+=bz[k];    tr[rs].nmin+=bz[k];    tr[rs].nmax+=bz[k];    tr[rs].sum+=bz[k]*tr[rs].len;    bz[rs]+=bz[k];    bz[k]=0;}void merge(int k,int ls,int rs){    tr[k].nmin=(tr[ls].nmin<tr[rs].nmin) ?tr[ls].nmin :tr[rs].nmin;    tr[k].nmax=(tr[ls].nmax>tr[rs].nmax) ?tr[ls].nmax :tr[rs].nmax;    tr[k].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum;}void tr_js(int k,int l,int r){    tr[k].len=r-l+1;    if (l==r)    {        tr[k].nmin=tr[k].nmax=tr[k].sum=a[l];        return;    }    int t=k<<1, t1=(l+r)>>1;    tr_js(t,l,t1), tr_js(t+1,t1+1,r);    merge(k,t,t+1);}void xg_ad(int k,int l,int r,int x,int y,LL z){    if (l==x && r==y)    {        tr[k].nmin+=z;        tr[k].nmax+=z;        tr[k].sum+=tr[k].len*z;        bz[k]+=z;        return;    }    int t=k<<1, t1=(l+r)>>1;    update(k,t,t+1);    if (y<=t1) xg_ad(t,l,t1,x,y,z);        else if (x>t1) xg_ad(t+1,t1+1,r,x,y,z);            else xg_ad(t,l,t1,x,t1,z), xg_ad(t+1,t1+1,r,t1+1,y,z);    merge(k,t,t+1);}void re_dv(int k,int l,int r,LL z){    LL tm=tr[k].nmin-DIV(tr[k].nmin,z);    if (tm==tr[k].nmax-DIV(tr[k].nmax,z))    {        tr[k].nmin-=tm;        tr[k].nmax-=tm;        tr[k].sum-=tm*tr[k].len;        bz[k]-=tm;        return;    }    int t=k<<1, t1=(l+r)>>1;    update(k,t,t+1);    re_dv(t,l,t1,z), re_dv(t+1,t1+1,r,z);    merge(k,t,t+1);}void xg_dv(int k,int l,int r,int x,int y,LL z){    if (l==x && r==y)    {        re_dv(k,l,r,z);        return;    }    int t=k<<1, t1=(l+r)>>1;    update(k,t,t+1);    if (y<=t1) xg_dv(t,l,t1,x,y,z);        else if (x>t1) xg_dv(t+1,t1+1,r,x,y,z);            else xg_dv(t,l,t1,x,t1,z), xg_dv(t+1,t1+1,r,t1+1,y,z);    merge(k,t,t+1);}LL cx_min(int k,int l,int r,int x,int y){    if (l==x && r==y) return tr[k].nmin;    int t=k<<1, t1=(l+r)>>1;    update(k,t,t+1);    if (y<=t1) return cx_min(t,l,t1,x,y);        else if (x>t1) return cx_min(t+1,t1+1,r,x,y);            else            {                LL rel=cx_min(t,l,t1,x,t1), rer=cx_min(t+1,t1+1,r,t1+1,y);                return (rel<rer) ?rel :rer;            }}LL cx_sum(int k,int l,int r,int x,int y){    if (l==x && r==y) return tr[k].sum;    int t=k<<1, t1=(l+r)>>1;    update(k,t,t+1);    if (y<=t1) return cx_sum(t,l,t1,x,y);        else if (x>t1) return cx_sum(t+1,t1+1,r,x,y);            else return cx_sum(t,l,t1,x,t1)+cx_sum(t+1,t1+1,r,t1+1,y);}int q;int main(){    scanf("%d %d",&n,&q);    fo(i,1,n) a[i]=ReadInt();    tr_js(1,1,n);    while (q--)    {        int ty=ReadInt(), l=ReadInt(), r=ReadInt();        if (ty==1)        {            LL d=ReadInt();            xg_ad(1,1,n,l,r,d);        } else if (ty==2)        {            LL d=ReadInt();            xg_dv(1,1,n,l,r,d);        } else if (ty==3)        {            printf("%lld\n",cx_min(1,1,n,l,r));        } else        {            printf("%lld\n",cx_sum(1,1,n,l,r));        }    }}