数学概念之最大公约数！！哎~都不知道这些东西原来这么有用……

来源：互联网发布：网络支付的规模编辑：程序博客网时间：2024/05/25 18:12

最近大学的一个同学给我发了个数学题：计算1到20的最小公倍数（Least Common Multiple，缩写L.C.M.）！

刚拿到题目的时候，就发现自己闷了，貌似已经N年没接触过数学名词了哈哈~

思考了一会就想到一种方法----1~20，将这些数分解质因子！代码如下java版的！^_^

package javad.custom.thr;
import java.math.BigDecimal;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Calculate {
    public static void main(String[] args) {
        long start = System.nanoTime();//用于测试程序性能-计算程序用时的，不需要多想！ 
        Calculate c = new Calculate();
        int result = 1;//最后公倍数--结果，初始值为1 
        for (int i = 1; i <= 20; i++) {//循环20次 
            if (result % i == 0)//如果当前公倍数已经能被i整除就直接下一个数 
                continue;
            List<Integer> tempNum = c.getPrimeNumber(i);//获取i的质因子数组 
            
            int temp = result;//一个公倍数的copy 
            for (int j = 0; j < tempNum.size(); j++) {
//计算过程：如果能被质因子整除，则将copy保存为整除后的数-- 
                if (temp % tempNum.get(j) == 0) {
                    temp /= tempNum.get(j);
                } else {
//否则，直接在公倍数上乘以这个数--出来一个新的公倍数 
                    result *= tempNum.get(j);
                }
            }
        }
        System.out.println(result);
        System.out.println((System.nanoTime() - start));
    }
    public List<Integer> getPrimeNumber(int input) {
        int k = input / 2;
        List<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = 2; i <= k; i++) {
            while (input % i == 0) {
                result.add(i);
                input /= i;
            }
        }
        if (result.size() < 2) {
            result.add(input);
        }
        return result;
    }
}

最早的想法是这样的，后来我同学有了一个新的想法（哎，我也不知道他怎么这么有动力那……真是生猛的人）！利用最大公约数！思路如下！

假设gcd（a,b）为求最大公约数的一个方法！则可以这样写程序：

int result=1;

for (int i=1;i<=20;i++)

{

result*=i/gcd(result,i);//太经典了！哎，我脑子秀逗了！！！还写出上面那么复杂的东西来，丢人那，看来得恶补数学了。

}

看来得恶补数学啦。

：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：来个数学补课--小学生级：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：

Greatest common divisor-最大公约数：只几个数的共有公约数中的最大的一个。

最大公约数有的性质：

1.交换律 gcd(a,b)=gcd(b,a)

2.gcd(-a,b)=gcd(a,b)//正负数只要绝对值相同，公约数不变

            3.gcd(a,a)=|a|//任何数，与自己的最大公约数就是自己
            4.d(a,0)=|a|
            5.gcd(a,1)=1
            6.gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)//a除以b得到的余数与a,b的最大公约数相同--很重要的性质

gcd(a,b)=b//当且仅当a是b的倍数--
7.gcd(a,b)=gcd(b, a-b)

　　 8.如果有附加的一个自然数m,则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配率)

            9.gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)如果m是a和b的最大公约数，则： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m
            10.在乘法函数中有：gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)

            下面这个也是重点，两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：
            * 两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来
            * 辗转相除法--经典啊--都不晓得有这样的算法
            辗转相除法是利用以下性質來確定两个正整数 a 和 b 的最大公因數的：
            1.若 r 是 a ÷ b 的餘數, 則 gcd(a,b) = gcd(b,r)
            2.a 和其倍數之最大公因數為 a。
             另一種寫法是：
                  a ÷ b，令r为所得餘数（0≤r＜b）
                  若 r = 0，算法结束；b 即为答案。
                  互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

小技巧：计算最小公倍数时，通常会借助最大公因数！比如求20 和15的最小公倍数，就会这样求--20*15/最大公因数（这里是5）！